Metodo per la determinazione di una funzione complessa a partire dalla parte reale
Salve,
ho il seguente dubbio. Data una funzione \(\displaystyle u(x,y) \) si richiede di dire se tale funzione può essere la parte reale di una funzione di variabile complessa. Ora la funzione è la seguente: \[\displaystyle u(x, y) = e^x\frac{x\cos y + y\sin y}{x^2+y^2} \] A questo punto per determinare la risposta al problema mi viene in mente di verificare l'armonicità della funzione \(\displaystyle u(x,y) \) facendone il laplaciano e verificando che sia effettivamente 0. Il punto è che sarebbe carino, vista la funzione, un metodo un po' più veloce che non mi obblighi al calcolo delle derivate seconde...
Esiste una condizione equivalente la cui verifica risolve il problema?
Grazie.
ho il seguente dubbio. Data una funzione \(\displaystyle u(x,y) \) si richiede di dire se tale funzione può essere la parte reale di una funzione di variabile complessa. Ora la funzione è la seguente: \[\displaystyle u(x, y) = e^x\frac{x\cos y + y\sin y}{x^2+y^2} \] A questo punto per determinare la risposta al problema mi viene in mente di verificare l'armonicità della funzione \(\displaystyle u(x,y) \) facendone il laplaciano e verificando che sia effettivamente 0. Il punto è che sarebbe carino, vista la funzione, un metodo un po' più veloce che non mi obblighi al calcolo delle derivate seconde...
Esiste una condizione equivalente la cui verifica risolve il problema?
Grazie.
Risposte
Well, it is the real part of a holomorphic function in $\mathbb{C}-0$, but the way to check this is a bit intricate. On the other hand, to check that $u$ is harmonic doesn't tell you if it is the real part of a holomorphic function or not.
Per determinare l'armonica coniugata $v$ della $u$ dovresti risolvere le equazioni di Cauchy-Riemann... Prova a vedere cosa ne viene fuori. 
Actually, I would try first to write $u$ as a function of the variable $z=x+iy$.
Ok, la mia domanda nasce dal fatto che per l'appunto anche io avevo pensato di risolvere CR. Tuttavia mi sembra una strada molto intricata, così ho guardato le soluzioni dell'esercizio e in effetti non ho neanche capito la soluzione (che del resto è molto veloce).
SOLUZIONE:
Notiamo che il denominatore è la parte reale di \(\displaystyle z\bar{z} \). Dovrà quindi esistere una funzione g(z), tale che: \[\displaystyle u(x, y) = \Re\left(\frac{g(z)\bar{z}}{z\bar{z}}\right) \] così che \(\displaystyle u(x, y) \) sia la parte reale di una funzione indipendente da \(\bar{z}\). Uguagliando i numeratori: \[e^x(x\cos y + y \sin y) = \Re[g(x + iy)(x-iy)]\] da cui segue (e qui vi chiedo perché?): \[g(x + iy) = e^x(\cos y + i \sin y) = e^z\] Concludendo: \[u(x,y) = \Re\left(\frac{e^z}{z} + ik\right)\] dove $e^z /z$ è una funzione analitica in tutto il piano complesso privato dell’origine.
SOLUZIONE:
Notiamo che il denominatore è la parte reale di \(\displaystyle z\bar{z} \). Dovrà quindi esistere una funzione g(z), tale che: \[\displaystyle u(x, y) = \Re\left(\frac{g(z)\bar{z}}{z\bar{z}}\right) \] così che \(\displaystyle u(x, y) \) sia la parte reale di una funzione indipendente da \(\bar{z}\). Uguagliando i numeratori: \[e^x(x\cos y + y \sin y) = \Re[g(x + iy)(x-iy)]\] da cui segue (e qui vi chiedo perché?): \[g(x + iy) = e^x(\cos y + i \sin y) = e^z\] Concludendo: \[u(x,y) = \Re\left(\frac{e^z}{z} + ik\right)\] dove $e^z /z$ è una funzione analitica in tutto il piano complesso privato dell’origine.
"javicemarpe":
Well, it is the real part of a holomorphic function in $\mathbb{C}-0$, but the way to check this is a bit intricate. On the other hand, to check that $u$ is harmonic doesn't tell you if it is the real part of a holomorphic function or not.
Invece è una condizione sufficiente e necessaria. Infatti se \( u(x, y) \) è armonica si può sempre scrivere che il laplaciano di $u$ è $0$, da cui si ricavano di fatto le condizioni di Cauchy Riemann...
Ok, but you have to give a domain. I mean, it's true that every harmonic function is locally the real part of a holomorphic function, but it doesn't need to be the real part of a holomorphic function in the whole domain of the holomorphic function. I should have said it better, sorry for that.
On the other hand, I'll try to give you a solution which is more or less the one you gave.
As in your solution, note that the denominator is exactly $|z|^2=z\overline{z}$. Now, observe that $e^x(x\cos y+y\sin y)=\text{Re}(e^z\overline{z})$, because $\overline{z}e^z=(x-iy)e^xe^{iy}=e^x(x-iy)(\cos y+i\sin y)=e^x(x\cos y+i\sin y-iy\cos y+ y\sin y)$.
Then, $u(z)=\text{Re}(\frac{e^z\overline{z}}{z\overline{z}})=\text{Re}(\frac{e^z}{z}),$ so, indeed, $u$ is the real part of a holomorphic function. The solution you gave is better in the sense that it says that $u$ is the real part of the holomorphic functions of the set $\{e^z/z+ik}_{k\in\mathbb{C}}$.
I think that it is very intuitive to test with the function $g(z)=e^z$ because it appears the term $e^x$ and a term with $\cos$ and $\sin$, and we know that $e^z=e^x(\cos y+ i\sin y)$.
I'll try to find a better explanation, but the solution I gave you came to my mind when I saw your function. The point is to try to write the function in terms of the complex variable $z$.
On the other hand, I'll try to give you a solution which is more or less the one you gave.
As in your solution, note that the denominator is exactly $|z|^2=z\overline{z}$. Now, observe that $e^x(x\cos y+y\sin y)=\text{Re}(e^z\overline{z})$, because $\overline{z}e^z=(x-iy)e^xe^{iy}=e^x(x-iy)(\cos y+i\sin y)=e^x(x\cos y+i\sin y-iy\cos y+ y\sin y)$.
Then, $u(z)=\text{Re}(\frac{e^z\overline{z}}{z\overline{z}})=\text{Re}(\frac{e^z}{z}),$ so, indeed, $u$ is the real part of a holomorphic function. The solution you gave is better in the sense that it says that $u$ is the real part of the holomorphic functions of the set $\{e^z/z+ik}_{k\in\mathbb{C}}$.
I think that it is very intuitive to test with the function $g(z)=e^z$ because it appears the term $e^x$ and a term with $\cos$ and $\sin$, and we know that $e^z=e^x(\cos y+ i\sin y)$.
I'll try to find a better explanation, but the solution I gave you came to my mind when I saw your function. The point is to try to write the function in terms of the complex variable $z$.
"javicemarpe":
I think that it is very intuitive to test with the function $g(z)=e^z$ because it appears the term $e^x$ and a term with $\cos$ and $\sin$, and we know that $e^z=e^x(\cos y+ i\sin y)$.
Grazie per le chiarificazioni. Quindi in realtà il passaggio nel trovare la funzione $g(z)$ "is something intuitive"? Non c'è un metodo per giungere al risultato in maniera più formale?
Now it doesn't come to my mind, but if I find a method to do it I'll let you know.
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