Metodo di ricerca di soluzioni periodiche mediante serie di Fourier

[Silence1]

Buonasera, avrei bisogno di qualche approfondimento teorico su quello che è il titolo. Dunque, procedendo per parti (spero di non mettere troppa carne al fuoco), cominciamo con l'esempio incriminato. Ho $-u''+u=cos(6x)$ che di per sé è risolvibilissima come ED di secondo ordine e metodo di somiglianza per il termine noto ($u=1/37cos(6x)$). Mi viene però chiesto di complicarmi la vita e di arrivarci usando appunto il "Metodo di ricerca di soluzioni periodiche mediante serie di Fourier". Premetto che l'ho visto usato solo un'altra volta, quindi non sono pratico. Ho capito il suo funzionamento, quel che non ho capito è perché funzioni.

Si vuole ovviamente cercare una soluzione dello stesso periodo del termine noto, quindi $T=pi/3$

Si consideri dunque $xi_k=k(2pi)/T=6k$

A questo punto viene calcolato il polinomio caratteristico in funzione di $ixi_k: P(ixi_k)=-(ixi_k)^2+1=36k^2+1!=0$

E viene semplicemente concluso che le soluzioni saranno della forma $u(x)=sum_k hat(u)_ke^(ik6x)$ con $hatu_k=hatf_k/(36k^2+1)$ e $hatf_k$ coefficienti di Fourier del termine noto dati da $hatf_k=1/Tint_0^Tf(x)e^(-i(2pi)/Tkx)dx$, cioè una trasformata di Fourier del coseno del tipo $f(x)->hat(f)(xi_k)=hat(f)(k(2pi)/T)=hat(f)(6k)$

Facendo i conti vien proprio la soluzione sperata. Non capisco però la logica del concetto. Non l'ho mai visto usato nelle esercitazioni (solo in due esami, con metà passaggi saltati e senza spiegazione riguardo il metodo - addirittura nei due casi che ho incrociato questo metodo ha nomi diversi).
Inoltre (ultima domanda, promesso), e se io approcciassi direttamente il problema usando la trasformata di Fourier? Usando la regola della derivata, i teoremi di convoluzione e di inversione, Jordan e i Residui, cosa cambierebbe?

Grazie

[anonymous_0b37e9]

"Silence":
Non capisco però la logica del concetto.

Dopo aver fatto lo sviluppo in serie di Fourier di entrambi i membri, si impone l'uguaglianza dei coefficienti.

"Silence":
... e se io approcciassi direttamente il problema usando la trasformata di Fourier?

Premesso che la trasformata di Fourier del secondo membro esiste solo nel senso delle distribuzioni:

Trasformata di Fourier

$baru(k)=\int_{-oo}^{+oo}u(x)e^(ikx)dx$

Antitrasformata di Fourier

$u(x)=1/(2\pi)\int_{-oo}^{+oo}baru(k)e^(-ikx)dk$

Trasformata di Fourier del primo membro

$-(d^2u)/(dx^2)(x)+u(x)=1/(2\pi)\int_{-oo}^{+oo}(k^2+1)baru(k)e^(-ikx)dk rarr (k^2+1)baru(k)$

Trasformata di Fourier del secondo membro

$cos6x=1/(2\pi)\int_{-oo}^{+oo}\pi[\delta(k+6)+\delta(k-6)]e^(-ikx)dk rarr \pi[\delta(k+6)+\delta(k-6)]$

Trasformata di Fourier della soluzione

$(k^2+1)baru(k)=\pi[\delta(k+6)+\delta(k-6)] rarr baru(k)=\pi/(k^2+1)[\delta(k+6)+\delta(k-6)]$

Soluzione

$u(x)=1/(2\pi)\int_{-oo}^{+oo}\pi/(k^2+1)[\delta(k+6)+\delta(k-6)]e^(-ikx)dk rarr$

$rarr u(x)=1/(2\pi)(\pi/37e^(6ix)+\pi/37e^(-6ix)) rarr$

$rarr u(x)=1/37cos6x$

[Silence1]

Magnifico. Molte grazie anche per i conti, erano venuti anche a me così ma avere una conferma fa sempre bene all'autostima!