METODI MATEMAT FISICA: esercizio spazi vettoriali
Si consideri lo spazio vettoriale A delle funzioni \( {f:R \rightarrow R}\) analitiche ovunque, tali cioè che la serie di Taylor nelle derivate n-esime della funzione, calcolate in zero:
\( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty } f^{(n)}(0){\frac{x^n}{(n!)}} \)
ha raggio di convergenza infinito.
a) Si dimostri che il sottoinsieme: \( \varepsilon = { f:R \rightarrow R ; |f^n(0)|\leq p_f^n , \forall n } \) tra parentesi graffe
con p_f costante positiva (che non dipende da n ma può essere dipendente dalla funzione f), è un sottospazio vettoriale di A.
b) Si dimostri che il sottoinsieme: \( P_N = { f:R \rightarrow R ; f^n(0)=0, n\geq N } \) tra parentesi graffe
è un sottospazio vettoriale di A di dimensione fi nita e se ne determini una base.
----
Per il primo punto un po ho capito ma per il secondo proprio non capisco come svolgerlo.
Il prof riporta questa soluzione:
b) \( {P_N}\) é chiaramente il sottoinsieme dei polinomi di grado al più N-1, che forma un sottospazio vettoriale generato dalla base dei monomi (cardinalità N): \( 1, x, x^2,....,x^{N-1} \)
Qualcuno potrebbe spiegarmi? Non capisco come arriva a questa soluzione. Grazie
\( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty } f^{(n)}(0){\frac{x^n}{(n!)}} \)
ha raggio di convergenza infinito.
a) Si dimostri che il sottoinsieme: \( \varepsilon = { f:R \rightarrow R ; |f^n(0)|\leq p_f^n , \forall n } \) tra parentesi graffe
con p_f costante positiva (che non dipende da n ma può essere dipendente dalla funzione f), è un sottospazio vettoriale di A.
b) Si dimostri che il sottoinsieme: \( P_N = { f:R \rightarrow R ; f^n(0)=0, n\geq N } \) tra parentesi graffe
è un sottospazio vettoriale di A di dimensione fi nita e se ne determini una base.
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Per il primo punto un po ho capito ma per il secondo proprio non capisco come svolgerlo.
Il prof riporta questa soluzione:
b) \( {P_N}\) é chiaramente il sottoinsieme dei polinomi di grado al più N-1, che forma un sottospazio vettoriale generato dalla base dei monomi (cardinalità N): \( 1, x, x^2,....,x^{N-1} \)
Qualcuno potrebbe spiegarmi? Non capisco come arriva a questa soluzione. Grazie
Risposte
In order to see that $P_N$ is a subspace you only have to take $f,g\in P_N$ and check that $\alpha f+ \beta g\in A$ for all $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, that is, it is an analytic function everywhere and that its $n$-th Taylor coefficient is zero from $N$ onwards. Regarding to the basis, you only have to check that $\{1,x,x^2,\ldots, x^{N-1}\}$ is linear independent, and this is easy, try to do it.
Una cosa non mi è chiara ancora. Perchè considera questa base di monomi $ \{1,x,x^2,...., x^{N-1}\} $ ? Come viene scelta la base? La funzione f(x) iniziale non viene utilizzata per il calcolo della base? Grazie
You consider this basis because $f\in P_N$ is a linear combination of the monomials $x^k$, $k=0,\ldots N-1$. I think that it is clear. I mean, the same way it is clear that $\{(1,0,\ldots,0),(0,1,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,1)\}$ is a basis of $\mathbb{R}^n$, it is clear that $\{1,x,x^2,\ldots,x^{N-1}\}$ is a basis of $P_N$. You can build any element of $P_N$ as a linear combination of the elements of that basis. Then, as you see, the shape of the functions $f\in P_N$ is what gives you the idea to consider $\{1,x,x^2,\ldots,x^{N-1}\}$ as a basis.
Perdona la mia ignoranza ma la funzione f(x) ha però un (n-1) fattoriale al denominatore che mi confonde nella ricerca della base.
This $(n-1)!$ is only a number, not a vector.
Grazie 1000! 
Avrei un secondo problema sempre legato agli spazi vettoriali e verifica di sottospazi:
Sia \( C([0,1]) \) l'insieme delle funzioni continue \( f: [0,1] -> R \)
Devo verificare quali dei seguenti sottoinsiemi di \( C([0,1]) \) sono sottospazi lineari chiusi:
1) (considero ora solo il primo punto) in cui mi viene richiesto di verificare che un polinomio di grado esattamente uguale a 3 sia un sottospazio chiuso dello spazio vettoriale \( C([0,1]) \) precedentemente verificato.
Basterebbe verificare che sia chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare. Giusto?
Quindi ho provato a considerare i polinomio del tipo:
\( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) e \( q(x) = a'x^3 + b'x^2 + c'x + d' \) per il calcolo della somma
Il professore afferma che Il vettore \(f = 0 \) non appartiene al sottoinsieme, che non risulta un sottospazio. Cioè? Perchè \( f \) è un vettore ora?
Ringrazio chiunque risponderà.
Sia \( C([0,1]) \) l'insieme delle funzioni continue \( f: [0,1] -> R \)
Devo verificare quali dei seguenti sottoinsiemi di \( C([0,1]) \) sono sottospazi lineari chiusi:
1) (considero ora solo il primo punto) in cui mi viene richiesto di verificare che un polinomio di grado esattamente uguale a 3 sia un sottospazio chiuso dello spazio vettoriale \( C([0,1]) \) precedentemente verificato.
Basterebbe verificare che sia chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare. Giusto?
Quindi ho provato a considerare i polinomio del tipo:
\( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) e \( q(x) = a'x^3 + b'x^2 + c'x + d' \) per il calcolo della somma
Il professore afferma che Il vettore \(f = 0 \) non appartiene al sottoinsieme, che non risulta un sottospazio. Cioè? Perchè \( f \) è un vettore ora?
Ringrazio chiunque risponderà.
A subset $A$ of a vector space $V$ is a subspace if and only if it is a vector space with the same operations as $V$. So, in particular, in order to be a vector space, it has to contain a null element, which is called $0$.
The elements of a vector space are called vectors (they can be functions or potatoes, but if they are elements of a vector space, then they're called vectors), and that's why they call $f$ a vector.
The null polynomial is the vector $f(x)=0$, but it is not a polynomial of degree $3$, so the set of polynomials of degree $3$ is not a subspace of $C( [0,1] )$.
The elements of a vector space are called vectors (they can be functions or potatoes, but if they are elements of a vector space, then they're called vectors), and that's why they call $f$ a vector.
The null polynomial is the vector $f(x)=0$, but it is not a polynomial of degree $3$, so the set of polynomials of degree $3$ is not a subspace of $C( [0,1] )$.
Quindi deve rispettare le proprietà di definizione norma? quando è strettamente definita positiva con ||f||= 0 => f=0
Quindi se ho capito bene non devono essere rispettare solo la 3a e la 4a proprietà di una norma (somma tra vettori e prodotto vettore per scalare), ma anche la 1a (definita positiva) e la 2a (strettam definita positiva) nella verifica di un sottospazio. Giusto? Ho capito bene?
Quindi se ho capito bene non devono essere rispettare solo la 3a e la 4a proprietà di una norma (somma tra vettori e prodotto vettore per scalare), ma anche la 1a (definita positiva) e la 2a (strettam definita positiva) nella verifica di un sottospazio. Giusto? Ho capito bene?
No, we're talking about vector spaces, not normed spaces. You don't need a norm in order to check if a subset of a vector space is a subspace of it.
Perdona C([0,1]) , nel corso dell'esercizio e precedentemente a questo punto, è stato verificato essere uno spazio di Banach.
Non vorrei fare confusione.
Cmq non ho capito il discorso legato al vettore nullo.
E' vero però che lo spazio è definito in un intervallo [0,1]...
Ho chiaro il fatto che gli elementi di uno spazio vettoriale o normale o di banach o di hilbert siano dei vettori e che in fase di verifica di una norma la funzione venga trattata come vettore, ma non mi è chiaro come verificare che un polinomio di grado 3 non sia un sottospazio se tengo conto che f : [0,1] -> R abbia valori in R
Perchè parlare di f(x)=0 ? Potresti farmi una dimostrazione per capire meglio? Grazie
Non vorrei fare confusione.
Cmq non ho capito il discorso legato al vettore nullo.
E' vero però che lo spazio è definito in un intervallo [0,1]...
Ho chiaro il fatto che gli elementi di uno spazio vettoriale o normale o di banach o di hilbert siano dei vettori e che in fase di verifica di una norma la funzione venga trattata come vettore, ma non mi è chiaro come verificare che un polinomio di grado 3 non sia un sottospazio se tengo conto che f : [0,1] -> R abbia valori in R
Perchè parlare di f(x)=0 ? Potresti farmi una dimostrazione per capire meglio? Grazie
I think you're a bit confused. I'll try to explain to you what's happening here.
First, a real vector space $V$ is a set in which we can define two operations, namely, the sum of vectors (it takes $u,v\in V$ and gives you a new element of $V$ called $u+v$); and the product by real numbers (it takes a real number $\lambda$ and an element $v\in V$ and gives you a new element of $V$ called $\lambda v$). The set $V$ with these operations is called a vector space if it satisfies the properties given here: http://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html
The elements of a vector space are called vectors. Observe that a vector space can be anything satisfying the properties above. In particular, there are sets of functions which are vector spaces. For example, the set of continuous functions defined in the interval $[0,1]$, $C([0,1])$, is a real vector space with the usual sum of functions and the usual product by real numbers.
The concept of vector subspace of a vector space has nothing to do with the concept of normed space. You can define this concept without a norm. The concept of vector subspace is an intrinsic concept of the linear structure of a vector space. It's defined as I said above: as a subset of the vector space $V$ which is also a vector space with the same operations as $V$. In particular, in order to be a subspace, it has to contain an identity for the sum, and, as you should know, the identity of a group is unique, so the identity element of a subspace has to be the same as the identity element of the whole space.
So, as the identity for the sum defined in $C([0,1])$ is the null function $O:[0,1]\to \mathbb{R}$ defined by $O(x)=0$ for all $x\in[0,1]$, the only candidate to be the identity of a subspace of $C([0,1])$ is the null function $O$.
Then, one thing you can do in order to see whether the set $A$ of polynomials of third degree is a subspace or not, is to check if $O$ is a polynomial of degree $3$. But it is clear that $O$ is not a polynomial of degree $3$, because it is a constant polynomial. Then, the set $A$ cannot be a subspace of $C([0,1])$.
You have to be careful with these things, you don't have to check whether ONE POLYNOMIAL OF THIRD DEGREE is or not a subspace of $C([0,1])$ BUT whether THE SET OF ALL POLYNOMIALS OF THIRD DEGREE is or not a subspace of $C([0,1])$, and this is a particular way to do it, but you can find subsets of a vector space containing the null element of the vector space but not being a subspace of it.
For example, the set $A\cup\{O}\subset C([0,1])$, with $A$ and $O$ defined as above, is not a vector subspace of $C([0,1])$, because it doesn't satisfy that the sum of two elements of the space is another element of the space. Indeed, if we take the polynomials $P(x)=x^3$ and $Q(x)=-x^3+x^2$, then we have that $P(x)+Q(x)=x^2$ is not an element of $A\cup\{O\}$, because it is not a polynomial of third degree.
First, a real vector space $V$ is a set in which we can define two operations, namely, the sum of vectors (it takes $u,v\in V$ and gives you a new element of $V$ called $u+v$); and the product by real numbers (it takes a real number $\lambda$ and an element $v\in V$ and gives you a new element of $V$ called $\lambda v$). The set $V$ with these operations is called a vector space if it satisfies the properties given here: http://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html
The elements of a vector space are called vectors. Observe that a vector space can be anything satisfying the properties above. In particular, there are sets of functions which are vector spaces. For example, the set of continuous functions defined in the interval $[0,1]$, $C([0,1])$, is a real vector space with the usual sum of functions and the usual product by real numbers.
The concept of vector subspace of a vector space has nothing to do with the concept of normed space. You can define this concept without a norm. The concept of vector subspace is an intrinsic concept of the linear structure of a vector space. It's defined as I said above: as a subset of the vector space $V$ which is also a vector space with the same operations as $V$. In particular, in order to be a subspace, it has to contain an identity for the sum, and, as you should know, the identity of a group is unique, so the identity element of a subspace has to be the same as the identity element of the whole space.
So, as the identity for the sum defined in $C([0,1])$ is the null function $O:[0,1]\to \mathbb{R}$ defined by $O(x)=0$ for all $x\in[0,1]$, the only candidate to be the identity of a subspace of $C([0,1])$ is the null function $O$.
Then, one thing you can do in order to see whether the set $A$ of polynomials of third degree is a subspace or not, is to check if $O$ is a polynomial of degree $3$. But it is clear that $O$ is not a polynomial of degree $3$, because it is a constant polynomial. Then, the set $A$ cannot be a subspace of $C([0,1])$.
You have to be careful with these things, you don't have to check whether ONE POLYNOMIAL OF THIRD DEGREE is or not a subspace of $C([0,1])$ BUT whether THE SET OF ALL POLYNOMIALS OF THIRD DEGREE is or not a subspace of $C([0,1])$, and this is a particular way to do it, but you can find subsets of a vector space containing the null element of the vector space but not being a subspace of it.
For example, the set $A\cup\{O}\subset C([0,1])$, with $A$ and $O$ defined as above, is not a vector subspace of $C([0,1])$, because it doesn't satisfy that the sum of two elements of the space is another element of the space. Indeed, if we take the polynomials $P(x)=x^3$ and $Q(x)=-x^3+x^2$, then we have that $P(x)+Q(x)=x^2$ is not an element of $A\cup\{O\}$, because it is not a polynomial of third degree.
Se ho capito bene solo la funzione nulla e la funzione identità rientrano nel mio caso di funzioni continue di C([0,1]), proprio perchè definiti nell'intervallo [0,1] ?
I don't know what do you mean.
Io avevo provato ad effettuare le operazioni di somma e prodotto con scalare considerando i due polinomi di grado 3:
p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d
q(x)=a'x^3 + b'x^2 + c'x + d'
e la somma è ancora un polinomio di grado 3.
p(x) + q(x) = (a + a') x^3 + (b + b')x^2 + (c + c')x + (d + d')
Invece mi pare di capire che non sempre è vera, come nel tuo esempio di p(x) + q(x) = x^2 in cui il grado 3 è venuto ad annullarsi e ottenendo un polinomio di grado inferiore a 3.
Quindi quando si tratta di polinomi devo sempre tenere conto della relazione , che sia = a qualcosa o <= (in questo secondo caso invece il polinomio somma risulterebbe essere un sottospazio) Giusto?
Credo mi sia chiara ora la situazione.
p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d
q(x)=a'x^3 + b'x^2 + c'x + d'
e la somma è ancora un polinomio di grado 3.
p(x) + q(x) = (a + a') x^3 + (b + b')x^2 + (c + c')x + (d + d')
Invece mi pare di capire che non sempre è vera, come nel tuo esempio di p(x) + q(x) = x^2 in cui il grado 3 è venuto ad annullarsi e ottenendo un polinomio di grado inferiore a 3.
Quindi quando si tratta di polinomi devo sempre tenere conto della relazione , che sia = a qualcosa o <= (in questo secondo caso invece il polinomio somma risulterebbe essere un sottospazio) Giusto?
Credo mi sia chiara ora la situazione.
Yes, if you ask the polynomials to be of degree exactly equl to $3$, then you have the problem that I told you, the sum of two polynomials of degree exactly equal to $3$ is not always a polynomial of degree exactly equal to $3$. On the other hand, if you only ask them to be of degree $\leq3$, then you get a subspace.
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