Metodi Diretti:Difficoltà nel Determinare Esistenza di un Minimo

[mklplo751]

Salve,ho provato a fare per la prima volta un esercizio per determinare se un funzionale presenti un minimo,usando il metodo diretto,però credo di aver fatto degli errori,e poi non sono riuscito a finire il procedimento,se non vi dispiace,potreste aiutarmi?(nella risoluzione mi sono aiutato vedendo un'altro esercizio)
L'esercizio è
$min{F(u)|uinC^1([-oo,+oo])}$=$ min{int_(-oo)^(+oo)(dot(u)^3+u )dx|uinC^1([-oo,+oo])} $
con condizioni al contorno
$ u(-oo)=u(+oo)=+oo $
ecco quello che ho provato a fare:
1)Formulo debolmente il problema passando da $C^1$ allo spazio di Sobolev $H^(1,3)$
$ Y={uinH^(1,3)([-oo;+oo])|u(-oo)=u(+oo)=+oo} $
2)Poi vedo se è compatto(e da qui penso di aver fatto qualche errore):
Prendo un sottolivello
$ {uinY|F(u)<=M} $
$ M>=F(u)=int_(-oo)^(+oo)dot(u)^3dx+int_(-oo)^(+oo)udx=int_-oo^oodot(u)^3dx $
e quindi
$ M>=int_-oo^oodot(u)^3dx $
Se ${u_n}subeY$ con $F(u_n)<=M$,allora $ ||dot(u)||_(L^3)^3 <=M$
e quindi,penso che posso estrarre una sotto-successione debolmente convergente
\( \dot{{u}}_{n_{k}}\rightharpoonup {v_{\infty}} \)
Ma per continuare devo far convergere sia la funzione che la derivata e quindi faccio
$ |u_n(+oo)-u_n(-oo)|<=(2*oo)^(2/3)||u||_(L^3)^3 $
$ ||u||_(L^3)^3>=0 $
e quindi per il teorma di Ascoli-Arzelà,trovo che le $u_n(x)$ in qualunque sottolivello,sono continue e equilimitate e quindi
$ u_(n_(k))(x)->u_(oo)(x) $
e alla fine posso dire che $v_(oo)(x)=dot(u)_(oo)(x)$
3)Semicontinuità:
faccio i seguenti passaggi
$ F(u_n)=int_(-oo)^(+oo)dot(u)_n^3dx+int_(-oo)^(+oo)u_ndx $
$ lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=lim_(n->+oo) i nfint_(-oo)^(+oo)dot(u)_n^3dx+lim_(n->+oo) i nfint_(-oo)^(+oo)u_ndx>=int_(-oo)^(+oo)dot(u)_(oo)^3dx+int_(-oo)^(+oo)u_(oo)dx=F(u_(oo)) $
e quindi
$lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=F(u_(oo)) $
e ora dopo aver controllato le condizioni al contorno dovrei capire se esiste un minimo della formulazione debole del problema.Purtroppo non so come capire se
$ u_n(-oo)=u_n(+oo)=u_(oo)(-oo)=u_(oo)(+oo)=+oo $
E quindi non so come continuare

[dissonance]

Mi paiono strane quelle condizioni al contorno. Come fa l'integrale a convergere? Sei sicuro?

[mklplo751]

Adesso che rivedo l'esercizio mi accorgo che nel secondo passaggio mi sono dimenticato l'integrale:
$int_(-oo)^(oo)u(x)dx$
E penso che questo influisca sul fatto che l'integrale converga o meno.
Se non vi dispiace potreste spiegarmi come posso dimostrare che il minimo esista o meno?
p.s:l'esercizio l'ho inventato io,giusto per esercitarmi,l'esercizio di cui sopra ho detto che ho usato per aiutarmi era:
$ min{int_0^2dot(u)^2+tan^-1(u)dx|uinC^1([0,2])} $ con condizioni al contorno $u(2)=3$ e $u(0)=0$

[dissonance]

L'esercizio che hai inventato è privo di senso. Con quelle condizioni al contorno l'integrale non converge.

[mklplo751]

Ok,grazie per la risposta,la prossima volta ne cerco uno su un libro