Mensurale di un insieme
Oggi ho sentito parlare di un concetto interessante, si parte da un insieme $E$ misurabile secondo Lebesgue contenuto in un qualche $[a,b]\subRR$ a questo punto si può considerare la funzione $m_E:[a,b]->RR$ con $m_E(x)=\int_{a}^x\chi_Ed\mu$ dove l'integrale in questione è di Lebesgue, questa funzione si chiama mensurale di $E$ (non ho ben capito se sia un nome maschile o femminile), però ho provato a cercare su internet ma non ho trovato niente, per caso sapete se sia noto con un altro nome?
Insieme alla definizione mi hanno parlato di un esercizio associato che hanno detto era difficilissimo, che è il seguente: trovare un insieme $E\sub[-1,1]$ tale che il suo mensurale sia derivabile in $0$ e $m_E'(0)$ è uguale a $1/2$ o a $1/3$.
Io non capisco come faccia la derivata di un mensurale ad essere diversa da $0$ e $1$, mi hanno detto che per l'integrazione di Lebesgue non vale il teorema fondamentale del calcolo integrale e stavo pensando che potrebbe essere utile calcolare la derivata del mensurale dell'insieme di Cantor nei punti dell'insieme di Cantor, ma io non saprei come fare.
Insieme alla definizione mi hanno parlato di un esercizio associato che hanno detto era difficilissimo, che è il seguente: trovare un insieme $E\sub[-1,1]$ tale che il suo mensurale sia derivabile in $0$ e $m_E'(0)$ è uguale a $1/2$ o a $1/3$.
Io non capisco come faccia la derivata di un mensurale ad essere diversa da $0$ e $1$, mi hanno detto che per l'integrazione di Lebesgue non vale il teorema fondamentale del calcolo integrale e stavo pensando che potrebbe essere utile calcolare la derivata del mensurale dell'insieme di Cantor nei punti dell'insieme di Cantor, ma io non saprei come fare.
Risposte
Mi sembra una strana definizione, se non metti in relazione $E$ ed $f$ (è una funzione? Misurabile, immagino; ma definita da dove a dove?)
Ciao, non ho mai sentito parlare di questo oggetto ma non ho capito, nella definizione, chi sia $f$...
Scommetto dieci dracme che $f = \chi_E$ è la funzione caratteristica di $E$.
"killing_buddha":
Scommetto dieci dracme che $f = \chi_E$ è la funzione caratteristica di $E$.
Te le sei aggiudicate!
A parte le battute, ho scritto così perché prima stavo scrivendo in un modo poi ho deciso di cambiare ma mi è sfuggito che lì non avevo corretto, ora lo faccio.
P.S. A me è sembrata strana anche la condizione che la derivata è $1/2$ o $1/3$.
Se allora è $f= \chi_E$ non mi torna quello che dici. Il teorema fondamentale del calcolo vale, cioè, precisamente:
Siano $a,b \in RR, a
\[ F(x) := \int_a^x fd\mu\]
allora $F$ è derivabile quasi ovunque e $F'=f$ quasi ovunque.
Nel tuo caso si avrebbe, come dici tu, che la derivata o è $1$ o è $0$.
Siano $a,b \in RR, a
\[ F(x) := \int_a^x fd\mu\]
allora $F$ è derivabile quasi ovunque e $F'=f$ quasi ovunque.
Nel tuo caso si avrebbe, come dici tu, che la derivata o è $1$ o è $0$.
Ma la scala di Cantor non è un controesempio?
Il (secondo?) teorema fondamentale del calcolo dice che
\( f \in AC([a,b])\) se e solo se vale contemporaneamente che $f$ è derivabile quasi ovunque, la sua derivata è in \( L^1((a,b)) \) e inoltre è valida
\[f(x)-f(a) = \int_{a}^{x} f'd\mu \quad (\ast) \]
La scala di Cantor non è assolutamente continua e infatti non vale la formula \( (\ast) \).
La scala di Cantor è derivabile quasi ovunque, la sua derivata è in $L^1(0,1)$ ma non vale \( (\ast) \) e quindi non è assolutamente continua.
Il (primo?) teorema fondamentale del calcolo che è quello che ti ho scritto prima, dimostra sostanzialmente l'implicazione "se" ma con un punto di vista opposto: prendo una funzione che sta in \( L^1((a,b)) \), ne faccio la funzione integrale e scopro che la derivata di questa roba è proprio la funzione.
\( f \in AC([a,b])\) se e solo se vale contemporaneamente che $f$ è derivabile quasi ovunque, la sua derivata è in \( L^1((a,b)) \) e inoltre è valida
\[f(x)-f(a) = \int_{a}^{x} f'd\mu \quad (\ast) \]
La scala di Cantor non è assolutamente continua e infatti non vale la formula \( (\ast) \).
La scala di Cantor è derivabile quasi ovunque, la sua derivata è in $L^1(0,1)$ ma non vale \( (\ast) \) e quindi non è assolutamente continua.
Il (primo?) teorema fondamentale del calcolo che è quello che ti ho scritto prima, dimostra sostanzialmente l'implicazione "se" ma con un punto di vista opposto: prendo una funzione che sta in \( L^1((a,b)) \), ne faccio la funzione integrale e scopro che la derivata di questa roba è proprio la funzione.
Ok, questo non lo sapevo, ma quindi cosa vuole dire? Che la funzione $\chi_E$ non deve essere assolutamente continua? Questo non dovrebbe essere un problema dato che non è nemmeno continua.
No! Nessuno chiede che l'integranda sia assolutamente continua. Il fatto che $\chi_E$ sia in \( L^1((a,b)) \) ci garantisce che la funzione $m_E$ è assolutamente continua, derivabile quasi ovunque e la sua derivata è $\chi_E$.
Quindi la derivata può assumere solo valori $0$ e $1$? E quindi l'esercizio è sbagliato (o forse l'ho capito male io o me l'hanno spiegato male)?
"otta96":
Quindi la derivata può assumere solo valori $ 0 $ e $ 1 $?
Esatto.
"otta96":
E quindi l'esercizio è sbagliato?
Per me si.
Grazie mille.
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