Matrice infinita unitaria manda set ortonormali in set ortonormali?

[Newton_1372]

Seguendo un analogo teorema che vale in dimensione finita, è ancora vero in dimensione infinita che una matrice unitaria "infinita" manda una base ortonormale in una base ortonormale? Cioè, più precisamente, se ho $\psi_k$ set completo ortonormale, presa una collezione
$$F_{ij}\psi_j$$
con $F_{ij} F^+_{jn} = \delta_{i n}$, mi chiedo se $F_{ij}\psi_j$
forma un set completo ortonormale.
L'ortonormalità è facile da verificare. Mi viene qualche dubbio sul dimostrare che il set sopra è completo. Ho cercato un vettore $\alpha_i \psi_i$ ortogonale a tutti quanti, e in questo modo ho concluso che $\alpha_i S_{ki}=0$, ovvero $\alpha$ deve essere ortogonale a tutte le righe della "matrice".
In dimensione finita saprei che le righe della matrice sono una base ortonormale, ma il problema nasce dalla dimensione infinita...

[dissonance]

No. Considera la matrice infinita
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \ldots \\
0&0&0& \ldots \\
0& 1 & 0 & \ldots \\
0 & 0 & 1 & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
\]

[Newton_1372]

Non è unitaria...

[dissonance]

Sei sicuro? A me sembra che la condizione \(F_{ij}F^\dagger_{jn}=\delta_{in}\) significhi che le colonne sono ortonormali. E questo è vero. Se invece intendi che devono essere ortonormali le righe prendi la trasposta della matrice di prima.

Il concetto è che siccome sei in dimensione infinita, puoi "saltare" un vettore e continuare ad avere una cosa unitaria. (O almeno così credo, magari mi sbaglio).

[Newton_1372]

Mi riferifvo alla riga di tutti zeri...se è unitaria è invertibile, quanto meno. (Binet)

[dissonance]

Queste cose sono vere in dimensione finita. In dimensione infinita non c'è né determinante, né Binet.