Maledetto Fourier!
"RobBobMob":
Ciao a tutti,
c'è una tipologia di esercizio di fourier che non riesco a svolgere.
La funzione è dispari, ti serve solamente un intergrale per risolverlo.
Per quanto riguarda il periodo intendi questo: \(\frac{4}{\pi }\)
oppure \(4\pi \)
Risposte
"RobBobMob":
Come fai a dire che u(t) = 5 sign(t) è dispari?
Conosco la funzione
"RobBobMob":
L'integrale che dovrei risolvere come lo ricavi?
Beh , come pretendi di risolvere l'esercizio se non conosci la serie di Fourier
"RobBobMob":
Probabilmente mi mancano dei concetti di teoria.
Posso darti la soluzione, ma poi rischi di non capirci niente...
Inizia tu a dirmi cosa sai della serie di Fourier
Ti servono i seguenti dati:
Il perioodo \(T=4\pi\)
La frequenza espresssa in radianti \(\omega _{0} =\frac{2\pi }{T}\)
Poi calcoli il seguente integrale per trovare i coefficienti:
\(\beta _{k}=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}u\left ( t \right )sin\left ( k\omega _{0} t\right )dt\)
con $k>0$
Sapendo che la funzione segno per le $t$ positive vale 1
Il perioodo \(T=4\pi\)
La frequenza espresssa in radianti \(\omega _{0} =\frac{2\pi }{T}\)
Poi calcoli il seguente integrale per trovare i coefficienti:
\(\beta _{k}=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}u\left ( t \right )sin\left ( k\omega _{0} t\right )dt\)
con $k>0$
Sapendo che la funzione segno per le $t$ positive vale 1
Ciao RobBobMob,
Veramente seguendo le indicazioni di Exodus se non ho fatto male i conti mi risulta
$\beta_k = 4/T \cdot \frac{5T sin^2(k\pi/2)}{k\pi} = 5\frac{4 sin^2(k\pi/2)}{k\pi} = 5\frac{2 sin^2(k\pi/2)}{k\pi/2} = 5k\pi (\frac{sin(k\pi/2)}{k\pi/2})^2 = 5k\pi \text{sinc}^2(k/2) $
ove $\text{sinc}(x) $ è la funzione seno cardinale normalizzata.
Visto che a quanto pare la conosci, qual è la soluzione data dal professore?
"RobBobMob":
svolgendo l'integrale così come me lo poni, ottengo un coseno
Veramente seguendo le indicazioni di Exodus se non ho fatto male i conti mi risulta
$\beta_k = 4/T \cdot \frac{5T sin^2(k\pi/2)}{k\pi} = 5\frac{4 sin^2(k\pi/2)}{k\pi} = 5\frac{2 sin^2(k\pi/2)}{k\pi/2} = 5k\pi (\frac{sin(k\pi/2)}{k\pi/2})^2 = 5k\pi \text{sinc}^2(k/2) $
ove $\text{sinc}(x) $ è la funzione seno cardinale normalizzata.
"RobBobMob":
e non si avvicina alla soluzione data dal professore.
Visto che a quanto pare la conosci, qual è la soluzione data dal professore?
"RobBobMob":
svolgendo l'integrale così come me lo poni, ottengo un coseno e non si avvicina alla soluzione data dal professore.
La funzione coseno per multipli interi di $\pi$ la puoi scrivere anche in questo modo:
\(cos\left ( k\pi \right )=\left ( -1 \right )^{k}\)
Beh, prova a scrivere diversamente $\beta_k $:
$\beta_k = 5\frac{4 sin^2(k\pi/2)}{k\pi} = 5\frac{2 sin^2(k\pi/2)}{k\pi/2} = 10 sin(k\pi/2) \text{sinc} (k/2) $
$\beta_k = 5\frac{4 sin^2(k\pi/2)}{k\pi} = 5\frac{2 sin^2(k\pi/2)}{k\pi/2} = 10 sin(k\pi/2) \text{sinc} (k/2) $
Calcolo l'integrale:
\(\beta _{k}=\frac{4}{4\pi }\int_{0}^{\frac{4\pi }{2}}5sin\left ( \frac{k}{2} t\right )dt=\frac{10}{\pi k}\left ( 1-cos\left ( \pi k \right ) \right )\)
Ovvero:
\(\frac{10}{\pi k}\left ( 1-cos\left ( \pi k \right ) \right )=\frac{10}{\pi k}\left ( 1-\left ( -1 \right )^{k} \right )\)
Metto dentro la sommatoria (forma trigonometrica):
\(u\left ( t \right )=\frac{10}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1-\left ( -1 \right )^{k}}{k}sin\left ( \frac{k}{2}t \right )\)
\(\beta _{k}=\frac{4}{4\pi }\int_{0}^{\frac{4\pi }{2}}5sin\left ( \frac{k}{2} t\right )dt=\frac{10}{\pi k}\left ( 1-cos\left ( \pi k \right ) \right )\)
Ovvero:
\(\frac{10}{\pi k}\left ( 1-cos\left ( \pi k \right ) \right )=\frac{10}{\pi k}\left ( 1-\left ( -1 \right )^{k} \right )\)
Metto dentro la sommatoria (forma trigonometrica):
\(u\left ( t \right )=\frac{10}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1-\left ( -1 \right )^{k}}{k}sin\left ( \frac{k}{2}t \right )\)
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