L'unione finita di insiemi misurabili è misurabile
Buonasera a tutti,
mi hanno chiesto una mano su una dimostrazione relativa alla misurabilità dell'unione di due insiemi misurabili. La mia memoria, purtroppo, fa cilecca ed essendo anche fuori casa non ho la possibilità di controllare sui miei libri. Così, per divertimento, ho tentato di ricostruire la dimostrazione da solo.
Teorema
Siano $E_1, E_2\subset\mathbb{R}^{N}$ due insiemi Lebesgue-misurabili, allora $E_1\cupE_2$ è Lebesgue-misurabile.
Prima di proporre la dimostrazione, fornisco la definizione di insieme misurabile (alla Caratheodory).
Un insieme $E\subset\mathbb{R}^{N}$ è misurabile se e solo se per ogni $A\subset\mathbb{R}^{N}$ è vera l'uguaglianza:
$m^{\star}(A)=m^\star(A\cap E)+m^\star(A\cap E^{c})$
Dimostrazione (certamente buggata).
In buona sostanza devo dimostrare che per ogni $A\subset\mathbb{R}^{N}$
$m^{\star}(A)=m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2)^{c})$
dove $m^{\star}(A)$ è la misura esterna di $A$.
Ho osservato che $A=A\cap[(E_1\cup E_2)\cup (E_1\cupE_2)^{c}]=[A\cap (E_1\cup E_2)]\cup[A\cap (E_1\cup E_2)^{c}]$, per cui, grazie alla subadditività di $m^{\star}$
$m^{\star}(A)\le m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cupE_2)^{c})$
D'altra parte $A\cap(E_1\cup E_2)\subset A\cap E_1$ e $A\cap(E_1\cup E_2)^{c}\subset A\cap E_1^c$ e per la monotonia della misura esterna
$m^{\star}(A\cap (E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2)^{c})\le m^{\star}(A\cap E_1)+m^{\star}(A\capE_1^{c})=m^{\star}(A)$
dove l'ultima uguaglianza si giustifica sfruttando la misurabilità di $E_1$. Collegando le due disuguaglianze concludo che:
$m^{\star}(A)=m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2)^{c})$
(ho dimostrato la misurabilità di $E_1\cup E_2$?)
Il mio problema con questa dimostrazione (che ripeto: è farina del mio sacco, quindi inaffidabile!) risiede nel fatto che non uso l'ipotesi sulla misurabilità di $E_2$. Cosa ho sbagliato?
Potreste aiutarmi a ricostruire una dimostrazione degna di questo nome, per favore? Grazie mille.
mi hanno chiesto una mano su una dimostrazione relativa alla misurabilità dell'unione di due insiemi misurabili. La mia memoria, purtroppo, fa cilecca ed essendo anche fuori casa non ho la possibilità di controllare sui miei libri. Così, per divertimento, ho tentato di ricostruire la dimostrazione da solo.
Teorema
Siano $E_1, E_2\subset\mathbb{R}^{N}$ due insiemi Lebesgue-misurabili, allora $E_1\cupE_2$ è Lebesgue-misurabile.
Prima di proporre la dimostrazione, fornisco la definizione di insieme misurabile (alla Caratheodory).
Un insieme $E\subset\mathbb{R}^{N}$ è misurabile se e solo se per ogni $A\subset\mathbb{R}^{N}$ è vera l'uguaglianza:
$m^{\star}(A)=m^\star(A\cap E)+m^\star(A\cap E^{c})$
Dimostrazione (certamente buggata).
In buona sostanza devo dimostrare che per ogni $A\subset\mathbb{R}^{N}$
$m^{\star}(A)=m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2)^{c})$
dove $m^{\star}(A)$ è la misura esterna di $A$.
Ho osservato che $A=A\cap[(E_1\cup E_2)\cup (E_1\cupE_2)^{c}]=[A\cap (E_1\cup E_2)]\cup[A\cap (E_1\cup E_2)^{c}]$, per cui, grazie alla subadditività di $m^{\star}$
$m^{\star}(A)\le m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cupE_2)^{c})$
D'altra parte $A\cap(E_1\cup E_2)\subset A\cap E_1$ e $A\cap(E_1\cup E_2)^{c}\subset A\cap E_1^c$ e per la monotonia della misura esterna
$m^{\star}(A\cap (E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2)^{c})\le m^{\star}(A\cap E_1)+m^{\star}(A\capE_1^{c})=m^{\star}(A)$
dove l'ultima uguaglianza si giustifica sfruttando la misurabilità di $E_1$. Collegando le due disuguaglianze concludo che:
$m^{\star}(A)=m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2)^{c})$
(ho dimostrato la misurabilità di $E_1\cup E_2$?)
Il mio problema con questa dimostrazione (che ripeto: è farina del mio sacco, quindi inaffidabile!) risiede nel fatto che non uso l'ipotesi sulla misurabilità di $E_2$. Cosa ho sbagliato?
Potreste aiutarmi a ricostruire una dimostrazione degna di questo nome, per favore? Grazie mille.
Risposte
Ok, la dimostrazione salta perché è falsa $A\cap (E_1\cup E_2)\subset A\cap E_1$. (Ripasserò la teoria degli insiemi, promesso.)
Ora dovrò trovare l'idea giusta per dimostrare questo piccolo teorema - che tra l'altro ricordo di aver fatto più di 10 anni fa, ma non riesco a ricostruire la dimostrazione.
Ora dovrò trovare l'idea giusta per dimostrare questo piccolo teorema - che tra l'altro ricordo di aver fatto più di 10 anni fa, ma non riesco a ricostruire la dimostrazione.
Il “certamente buggata” mi ha steso 
Pongo $m^(star)=rho$ per comodità che sono dal cellulare
In genere $rho$ è una misura esterna quindi una disuguaglianza è ovvia in quanto
Questo è un fatto che ci si porta fedelmente a cuore perché basta dimostrare, in contesti analoghi, che valga $geq$
Se $E_1$ è misurabile si ottiene
In particolare rimane vero se prendiamo $AcapE_2^c,forallA$ da cui
Quindi $rho(A)=rho(AcapE_2)+rho(AcapE_2^c)=rho(AcapE_2)+rho(E_1capE_2^c capA)+rho((E_1cupE_2)^c capA)$
e si ha $(AcapE_2)cup(Acap(E_1capE_2^c))=Acap(E_2cup(E_1capE_2^c))=Acap(E_1cupE_2)$
Il che implica
Spero non ci siano sviste
Pongo $m^(star)=rho$ per comodità che sono dal cellulare
In genere $rho$ è una misura esterna quindi una disuguaglianza è ovvia in quanto
$rho(A)=rho(Acap(EcupE^c))=rho((AcapE)cup(AcapE^c))leqrho(AcapE)+rho(AcapE^c),forallA$
Questo è un fatto che ci si porta fedelmente a cuore perché basta dimostrare, in contesti analoghi, che valga $geq$
Se $E_1$ è misurabile si ottiene
$rho(A)=rho(E_1capA)+rho(E_1^c capA),forallA$
In particolare rimane vero se prendiamo $AcapE_2^c,forallA$ da cui
$rho(AcapE_2^c)=rho(E_1capE_2^c capA)+rho((E_1cupE_2)^c capA)$
Quindi $rho(A)=rho(AcapE_2)+rho(AcapE_2^c)=rho(AcapE_2)+rho(E_1capE_2^c capA)+rho((E_1cupE_2)^c capA)$
e si ha $(AcapE_2)cup(Acap(E_1capE_2^c))=Acap(E_2cup(E_1capE_2^c))=Acap(E_1cupE_2)$
Il che implica
$rho(A)geqrho(Acap(E_1cupE_2))+rho(Acap(E_1cupE_2)^c)$
Spero non ci siano sviste
Tutto chiaro, solo un piccolo appunto: ci sono alcuni typo nella formula finale. Non sono intersezioni, bensì unioni tra $E_1$ e $E_2$. 
Grazie mille, sei stato gentilissimo e molto chiaro!
Grazie mille, sei stato gentilissimo e molto chiaro!
Ma proprio nella penultima riga
Figurati; ora cambio quei due $cap$
Figurati; ora cambio quei due $cap$
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