L'operatore codifferenziale
Salve, volevo chiedervi un chiarimento su questa parte:
che usa poi nella definizione di codifferenziale:
Questi pezzi sono tratti da "The Geometry of Physics" di Theodore Frankel.
Volevo chiedervi perchè inanzitutto è necessario andare ad introdurre un prodotto scalare di quel tipo? E poi ha senso chiamare quella cosa spazio di Hilbert quando lui stesso dice che non è uno spazio di Hilbert soprattutto quando vai a considerare varietà pseudo riemanniane? Ti da problemi questa cosa o basta andare ad introdurre un prodotto scalare di questo tipo?
che usa poi nella definizione di codifferenziale:
Questi pezzi sono tratti da "The Geometry of Physics" di Theodore Frankel.
Volevo chiedervi perchè inanzitutto è necessario andare ad introdurre un prodotto scalare di quel tipo? E poi ha senso chiamare quella cosa spazio di Hilbert quando lui stesso dice che non è uno spazio di Hilbert soprattutto quando vai a considerare varietà pseudo riemanniane? Ti da problemi questa cosa o basta andare ad introdurre un prodotto scalare di questo tipo?
Risposte
Queste domande andrebbero postate nella sezione di Geometria (a cui servirebbe proprio una sottosezione "superiore" come fatto per Analisi).
Non so risponderti nel dettaglio, ma per completare quello spazio e renderlo di Hilbert (nel caso riemanniano) si devono introdurre spazi di Sobolev di $k$-forme. Questo diventa importante quando si vuole fare dell'analisi su varietà e dimostrare esistenza e unicità di problemi differenziali. Per definire il codifferenziale non è necessario che lo spazio sia di Hilbert.
Se non conosci gli spazi di Sobolev (negli spazi euclidei), ti faccio un esempio introduttivo. Considera lo spazio delle funzioni $C^1([0,1],\mathbb{R})$ e considera l'operatore di derivata $d/dx$. Definisci il prodotto scalare:
\[(f,g) := \int_0^1 fg dx\]
Dato che siamo in un compatto questo è ben definito e induce una norma $\|f\| = \sqrt{(f,f)}$. Ora, lo spazio $C^1([0,1])$ con $(\cdot,\cdot)$ è completo, ovvero di Hilbert?
No! Ad esempio ci possono essere successioni di funzioni $C^1$ che convergono in norma a funzioni discontinue. L'idea è quello di completare questo spazio e il completamento è $L^2([0,1])$, come forse sai.
Ma ora abbiamo un problema! L'operatore $d/dx$ non si estende a $L^2$. Ricorda infatti che le funzioni di $L^2$ non sono nemmeno continue[nota]A rigore non sono nemmeno funzioni ma solo classi di equivalenza di queste ultime[/nota]. Quindi abbiamo messo a posto l'integrabilità e la completezza ma abbiamo perso totalmente il concetto di derivata.
Gli spazi di Sobolev servono proprio a conciliare questi due estremi definendo un concetto di derivata in spazi $L^p$ e permettono quindi di studiare le equazioni differenziale nel corretto contesto dell'analisi funzionale.
Lo stesso si può fare sulle varietà, anche se ne so molto poco!
Non so risponderti nel dettaglio, ma per completare quello spazio e renderlo di Hilbert (nel caso riemanniano) si devono introdurre spazi di Sobolev di $k$-forme. Questo diventa importante quando si vuole fare dell'analisi su varietà e dimostrare esistenza e unicità di problemi differenziali. Per definire il codifferenziale non è necessario che lo spazio sia di Hilbert.
Se non conosci gli spazi di Sobolev (negli spazi euclidei), ti faccio un esempio introduttivo. Considera lo spazio delle funzioni $C^1([0,1],\mathbb{R})$ e considera l'operatore di derivata $d/dx$. Definisci il prodotto scalare:
\[(f,g) := \int_0^1 fg dx\]
Dato che siamo in un compatto questo è ben definito e induce una norma $\|f\| = \sqrt{(f,f)}$. Ora, lo spazio $C^1([0,1])$ con $(\cdot,\cdot)$ è completo, ovvero di Hilbert?
No! Ad esempio ci possono essere successioni di funzioni $C^1$ che convergono in norma a funzioni discontinue. L'idea è quello di completare questo spazio e il completamento è $L^2([0,1])$, come forse sai.
Ma ora abbiamo un problema! L'operatore $d/dx$ non si estende a $L^2$. Ricorda infatti che le funzioni di $L^2$ non sono nemmeno continue[nota]A rigore non sono nemmeno funzioni ma solo classi di equivalenza di queste ultime[/nota]. Quindi abbiamo messo a posto l'integrabilità e la completezza ma abbiamo perso totalmente il concetto di derivata.
Gli spazi di Sobolev servono proprio a conciliare questi due estremi definendo un concetto di derivata in spazi $L^p$ e permettono quindi di studiare le equazioni differenziale nel corretto contesto dell'analisi funzionale.
Lo stesso si può fare sulle varietà, anche se ne so molto poco!
Volevo chiedervi perchè inanzitutto è necessario andare ad introdurre un prodotto scalare di quel tipo? E poi ha senso chiamare quella cosa spazio di Hilbert quando lui stesso dice che non è uno spazio di Hilbert soprattutto quando vai a considerare varietà pseudo riemanniane? Ti da problemi questa cosa o basta andare ad introdurre un prodotto scalare di questo tipo?
Non sono delle domande molto chiare: cosa vuoi sapere di preciso? A cosa serve introdurre il codifferenziale $\delta$? A cosa serve rendere lo spazio delle forme uno spazio di Hilbert?
Voglio sapere di preciso perchè introduce quei due prodotti scalari nella prima pagina. Soprattutto il secondo perchè c’è bisogno di andare ad introdurre un prodotto scalare globale come lo chiama lui per definire il codifferenziale?
Il primo prodotto scalare è quello rispetto a cui $d$ e $\delta$ sono aggiunti.
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