Logaritmo e esponenziale complessi
salve a tutti vorrei trovare le soluzioni di questa equazione:
$e^{2z} = -3/2$
Io ho proceduto così:
$log(e^{2z}) = log(e^{i\pi}) + log(3/2) = i\pi + log(3/2)$
Adesso per il primo membro ho avuto qualche problemino, diciamo che non sono molto ferrato sulle funzioni polidrome in generale, dunque ho provato a fare così:
so dalla teoria che $e^z = e^{z+2k\pi i}, k \in \ZZ$. da qui in poi ometto l'insieme di provenienza dei $k$.
$e^{2z} =e^{2(z+2k\pi i)} = e^{2(a+i(b+2k\pi))} = e^{2z} e^{4ki\pi}$
Da cui ottengo:
$z +2k\pi i = i\pi/2 + 1/2log(3/2)$
Adesso sorge il problema: la soluzione mi dice invece che
$z_k = 1/2log(3/2) + i\pi/2 + i\pik$
Ho controllato con wolfram e in effetti la soluzione è quella. Come ci arrivo? Cosa ho sbagliato?
Ringrazio già ora chi vorrà darmi un aiuto
$e^{2z} = -3/2$
Io ho proceduto così:
$log(e^{2z}) = log(e^{i\pi}) + log(3/2) = i\pi + log(3/2)$
Adesso per il primo membro ho avuto qualche problemino, diciamo che non sono molto ferrato sulle funzioni polidrome in generale, dunque ho provato a fare così:
so dalla teoria che $e^z = e^{z+2k\pi i}, k \in \ZZ$. da qui in poi ometto l'insieme di provenienza dei $k$.
$e^{2z} =e^{2(z+2k\pi i)} = e^{2(a+i(b+2k\pi))} = e^{2z} e^{4ki\pi}$
Da cui ottengo:
$z +2k\pi i = i\pi/2 + 1/2log(3/2)$
Adesso sorge il problema: la soluzione mi dice invece che
$z_k = 1/2log(3/2) + i\pi/2 + i\pik$
Ho controllato con wolfram e in effetti la soluzione è quella. Come ci arrivo? Cosa ho sbagliato?
Ringrazio già ora chi vorrà darmi un aiuto
Risposte
"SteezyMenchi":
... vorrei trovare gli zeri di questa equazione ...
Veramente, una equazione ha soluzioni, non zeri. Inoltre:
$[e^(2z)=-3/2] ^^ [z=x+iy] ^^ [e^z=e^x(cosy+isiny)] rarr$
$rarr e^(2x)(cos2y+isin2y)=3/2cos(\pi+2k\pi) rarr$
$rarr [e^(2x)=3/2] ^^ [2y=(\pi+2k\pi)] rarr$
$rarr [x=1/2log(3/2)] ^^ [y=(k+1/2)\pi]$
Mi sono confuso con gli zeri del denominatore, imponendo la condizione si arriva proprio all'equazione. Mea culpa. Ora correggo, grazie mille Noodles. Una sola domanda quando eguagli i coefficienti per ottenere l'uguaglianza tra i due membri $cos(2y)+ isin(2y) = cos(\pi + 2k\pi)$ hai semplicemente 'scartato' il seno siccome non compare oppure si elimina visto l'angolo dell'argomento del coseno?
Ciao SteezyMenchi,
Manca solo un $2$ nel punto giusto...
$ 2z + 2k\pi i = i\pi + log(3/2) $
$ z + k\pi i = i\pi/2 + 1/2 log(3/2) $
$z_k = 1/2 log(3/2) + i\pi/2 - i\pi k $
$z_k = 1/2 log(3/2) + i\pi/2 + i\pi k $
ove $k \in \ZZ $
"SteezyMenchi":
Cosa ho sbagliato?
Manca solo un $2$ nel punto giusto...
$ 2z + 2k\pi i = i\pi + log(3/2) $
$ z + k\pi i = i\pi/2 + 1/2 log(3/2) $
$z_k = 1/2 log(3/2) + i\pi/2 - i\pi k $
$z_k = 1/2 log(3/2) + i\pi/2 + i\pi k $
ove $k \in \ZZ $
Oddio non me ne ero accorto pillo, grazie mille come al solito. Il meno viene semplicemente riassorbito nel coefficiente $k \in \ZZ$. Ero veramente andato nel pallone e invece avevo la soluzione davanti agli occhi praticamente. Devo smettere di lavorare all'una di notte evidentemente 
"SteezyMenchi":
... quando eguagli i coefficienti ...
Poichè:
$e^(2x)(cos2y+isin2y)=3/2cos(\pi+2k\pi) rarr$
$rarr e^(2x)(cos2y+isin2y)=3/2[cos(\pi+2k\pi)+sin(\pi+2k\pi)]$
le due motivazioni che hai scritto mi sembrano identiche.
Sì sì me ne sono accorto ora hahahah, è come avevo immaginato, perdonami la domanda stupida. Grazie di nuovo
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