Log e determinazione principale
Ciao ragazzi,
vi riporto due esempi su cui avrei delle domande.
La traccia in questione è:
Determinare l'insieme L$og(2i)$. Scrivere la determinazione di L$og(2i)$ per $\theta$ che varia da $ \pi$ a $ 3 \pi$
Io ho ragionato così:
Il logaritmo complesso può assumere infiniti valori, pertanto esso non associa un numero complesso, bensì un insiem di numeri complessi del tipo $ I : { w= x+iy : x= log|z|, y=Arg z+ 2k \pi, k \in Z} $
Nel mio caso avrei $ |z| = 2 $ e $Arg z = \pi /2 + 2k \pi$.
Rifacendomi alla teoria, potrò dunque scrivere:
L$og (2i) = log2+i(\pi/2 + 2k\pi)$.
Ora, ragionando su $\theta \in (\pi, 3\pi)$ partendo da $\pi/2$ avrei $\theta=5/2 \pi$
Quindi L$og (2i) = log2+i(5 \pi/2 + 2k\pi)$. E fin qui mi trovo con le soluzioni , sperando di aver ragionato bene.
Il "problema" nasce quando ho L$og (-1+i)$ sempre con $\theta$ che varia da $ \pi$ a $ 3 \pi$
La mia soluzione sarebbe L$og (-1+i)$ = $log (2)^(1/2) + i ( -\pi/4 + 2k\pi)$ e con $\theta$ che varia da $ \pi$ a $ 3 \pi$ invece mi trovo L$og (-1+i)$ = $log (2)^(1/2) + i ( 13\pi/4 + 2k\pi)$, ma non corrisponde alla soluzione data.
Al di là dei conti, vi chiedo gentilmente un confronto sul ragionamento della parte dell'esercizio in cui $\theta$ varia in un dato intervallo.
Grazie
vi riporto due esempi su cui avrei delle domande.
La traccia in questione è:
Determinare l'insieme L$og(2i)$. Scrivere la determinazione di L$og(2i)$ per $\theta$ che varia da $ \pi$ a $ 3 \pi$
Io ho ragionato così:
Il logaritmo complesso può assumere infiniti valori, pertanto esso non associa un numero complesso, bensì un insiem di numeri complessi del tipo $ I : { w= x+iy : x= log|z|, y=Arg z+ 2k \pi, k \in Z} $
Nel mio caso avrei $ |z| = 2 $ e $Arg z = \pi /2 + 2k \pi$.
Rifacendomi alla teoria, potrò dunque scrivere:
L$og (2i) = log2+i(\pi/2 + 2k\pi)$.
Ora, ragionando su $\theta \in (\pi, 3\pi)$ partendo da $\pi/2$ avrei $\theta=5/2 \pi$
Quindi L$og (2i) = log2+i(5 \pi/2 + 2k\pi)$. E fin qui mi trovo con le soluzioni , sperando di aver ragionato bene.
Il "problema" nasce quando ho L$og (-1+i)$ sempre con $\theta$ che varia da $ \pi$ a $ 3 \pi$
La mia soluzione sarebbe L$og (-1+i)$ = $log (2)^(1/2) + i ( -\pi/4 + 2k\pi)$ e con $\theta$ che varia da $ \pi$ a $ 3 \pi$ invece mi trovo L$og (-1+i)$ = $log (2)^(1/2) + i ( 13\pi/4 + 2k\pi)$, ma non corrisponde alla soluzione data.
Al di là dei conti, vi chiedo gentilmente un confronto sul ragionamento della parte dell'esercizio in cui $\theta$ varia in un dato intervallo.
Grazie
Risposte
Ogni determinazione di \(\log z\) dipende da una determinazione di \(\arg z\), dato che sussiste la formula:
\[
\log z = \ln |z| +\mathbf{i}\ \arg z\; ,
\]
in cui \(\ln\) denota il logaritmo naturale reale. Ciò vuol dire che ad ogni argomento di $z$ (che sono infiniti!) è associato un logaritmo di $z$; inoltre, dato che per ogni determinazione di \(\arg z\) esiste un unico $k\in ZZ$ tale che:
\[
\arg z = \operatorname{Arg} z + 2k\pi
\]
(in cui \(\operatorname{Arg} z\) è l'unico valore di $theta$ in \(]-\pi,\pi]\) tale che \(\{ \operatorname{Re} z = |z|\cos \theta,\ \operatorname{Im} z = |z|\sin \theta\)), si capisce che in corrispondenza di ogni determinazione di \(\log z\) esiste un unico $k \in ZZ$ tale che:
\[
\begin{split}
\log z &= \ln |z| + \mathbf{i}\ \left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)\\
&=\operatorname{Log} z + 2k\pi\ \mathbf{i}\; .
\end{split}
\]
in cui \(\operatorname{Log}\) denota la cosiddetta determinazione principale.
Che vuol dire ciò?
Beh, vuol dire che la "formula":
\[
\log z = \ln |z| + \mathbf{i}\ \left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)
\]
con $k$ variabile in $ZZ$ ti fornisce tutte le possibili determinazioni di \(\log z\), di modo che se a te ne serve fissare una in particolare devi fissare un valore per $k$; in altre parole, non ha alcun senso portarsi dietro il termine \(2k\pi\) quando scrivi una particolare determinazione di \(\log z\).
Nel caso in esame, ti serve la determinazione corrispondente agli argomenti nell'intervallo \(]\pi,3\pi]\).
Poiché l'unico argomento di \(2\mathbf{i}\) che cade in tale intervallo è \(\frac{5\pi}{2}\), la determinazione che cerchi per \(\log (2\mathbf{i})\) è \(\ln 2 + \mathbf{i}\ \frac{5\pi}{2}\) (la quale si ottiene ponendo $k=1$ nella formula con l'argomento principale).
Analogamente, la determinazione di \(\log(-1+\mathbf{i})\) corrispondente all'argomento in $]pi, 3pi]$ è \( \frac{1}{2} \ln 2 +\frac{11}{4}\pi \mathbf{i}\).
\[
\log z = \ln |z| +\mathbf{i}\ \arg z\; ,
\]
in cui \(\ln\) denota il logaritmo naturale reale. Ciò vuol dire che ad ogni argomento di $z$ (che sono infiniti!) è associato un logaritmo di $z$; inoltre, dato che per ogni determinazione di \(\arg z\) esiste un unico $k\in ZZ$ tale che:
\[
\arg z = \operatorname{Arg} z + 2k\pi
\]
(in cui \(\operatorname{Arg} z\) è l'unico valore di $theta$ in \(]-\pi,\pi]\) tale che \(\{ \operatorname{Re} z = |z|\cos \theta,\ \operatorname{Im} z = |z|\sin \theta\)), si capisce che in corrispondenza di ogni determinazione di \(\log z\) esiste un unico $k \in ZZ$ tale che:
\[
\begin{split}
\log z &= \ln |z| + \mathbf{i}\ \left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)\\
&=\operatorname{Log} z + 2k\pi\ \mathbf{i}\; .
\end{split}
\]
in cui \(\operatorname{Log}\) denota la cosiddetta determinazione principale.
Che vuol dire ciò?
Beh, vuol dire che la "formula":
\[
\log z = \ln |z| + \mathbf{i}\ \left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)
\]
con $k$ variabile in $ZZ$ ti fornisce tutte le possibili determinazioni di \(\log z\), di modo che se a te ne serve fissare una in particolare devi fissare un valore per $k$; in altre parole, non ha alcun senso portarsi dietro il termine \(2k\pi\) quando scrivi una particolare determinazione di \(\log z\).
Nel caso in esame, ti serve la determinazione corrispondente agli argomenti nell'intervallo \(]\pi,3\pi]\).
Poiché l'unico argomento di \(2\mathbf{i}\) che cade in tale intervallo è \(\frac{5\pi}{2}\), la determinazione che cerchi per \(\log (2\mathbf{i})\) è \(\ln 2 + \mathbf{i}\ \frac{5\pi}{2}\) (la quale si ottiene ponendo $k=1$ nella formula con l'argomento principale).
Analogamente, la determinazione di \(\log(-1+\mathbf{i})\) corrispondente all'argomento in $]pi, 3pi]$ è \( \frac{1}{2} \ln 2 +\frac{11}{4}\pi \mathbf{i}\).
Perdonami, ho seguito perfettamente il ragionamento, ma mi perdo quando compare $1/2$ davanti a $ln2 + i (5/2) \pi$
Certo... C'è un $1/2$ di troppo! 
Ora correggo.
Ora correggo.
Ciao gugo82,
chiedo conferma,seguendo il ragionamento adottato in questo topic, per un esercizio della stessa tipologia ( conferma per capire se ci ho visto giusto =) )
Le richieste sono sempre le stesse.
L$og ((3)^(1/2) +i )$
Svolgendo i conti:
L$og ((3)^(1/2) +i )= log 2 +i(\pi/6 +2k\pi)$
Quindi la determinazione principale sarà $l og((3)^(1/2) +i ) = log2+ i\pi/6$.
Tre $\pi$ e$ 3\pi$ avrò $log 2+ i7/6 \pi$?
chiedo conferma,seguendo il ragionamento adottato in questo topic, per un esercizio della stessa tipologia ( conferma per capire se ci ho visto giusto =) )
Le richieste sono sempre le stesse.
L$og ((3)^(1/2) +i )$
Svolgendo i conti:
L$og ((3)^(1/2) +i )= log 2 +i(\pi/6 +2k\pi)$
Quindi la determinazione principale sarà $l og((3)^(1/2) +i ) = log2+ i\pi/6$.
Tre $\pi$ e$ 3\pi$ avrò $log 2+ i7/6 \pi$?
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