$(L^(\infty)(X),||.||_infty)$è uno spazio di Banach
Raga sono in crisi pesante, non riesco a capire la dimostrazione che $(L^(\infty)(X),||.||_infty)$è uno spazio di banach...
$ \forall \epsilon >0 \exists N(\epsilon)>0 : \forall n,m>N(\epsilon) \rightarrow ||(fn-fm)||_\infty<\epsilon$
Ora creo gli insiemi $A_n=\{x\inX:|f_n|>||f_n||_\infty \},E_n=\{x\inX:|f_n-f_m|>||f_n-f_m||_\infty \}$ che sono misurabili la cui misura è nulla.
definisco poi $A=\bigcup_n(A_n),E=\bigcup_n(E_n)$ a loro volta anche A ed E sono misurabili e per la subadditivitò la lori misura è nulla.
Considero$X_0=A\cupB$ che è sempre misurabile e con misura nulla.
A questo punto so che $\forallx\inX-X_0, |f_n-f_m|<||f_n-f_m||_\infty<\epsilon$ dunque per il criterio di cauchy uniforme esiste una funzione limite $f$ alla quale la mia successione di funzioni converge uniformemente in $X-X_0$
Ora arriva il pezzo che non capisco : considero $f$identicamente nulla in $X_0$ è dunque ovvio che $\forallx\inX_0||f_n-f||_\infty=||f_n||_\infty->0$ e si conclude la dimostrazione con l'osservazione che $f$ è misurabile. il libro è Bartle, Elements of integration ecco il libro, io vi ho messo gli appunti che sono più dettagliati in alcuni passaggi
http://bookre.org/loader/img.php?dir=57accfbba593cd909af92a6ca12b1bea&file=72.png
$ \forall \epsilon >0 \exists N(\epsilon)>0 : \forall n,m>N(\epsilon) \rightarrow ||(fn-fm)||_\infty<\epsilon$
Ora creo gli insiemi $A_n=\{x\inX:|f_n|>||f_n||_\infty \},E_n=\{x\inX:|f_n-f_m|>||f_n-f_m||_\infty \}$ che sono misurabili la cui misura è nulla.
definisco poi $A=\bigcup_n(A_n),E=\bigcup_n(E_n)$ a loro volta anche A ed E sono misurabili e per la subadditivitò la lori misura è nulla.
Considero$X_0=A\cupB$ che è sempre misurabile e con misura nulla.
A questo punto so che $\forallx\inX-X_0, |f_n-f_m|<||f_n-f_m||_\infty<\epsilon$ dunque per il criterio di cauchy uniforme esiste una funzione limite $f$ alla quale la mia successione di funzioni converge uniformemente in $X-X_0$
Ora arriva il pezzo che non capisco : considero $f$identicamente nulla in $X_0$ è dunque ovvio che $\forallx\inX_0||f_n-f||_\infty=||f_n||_\infty->0$ e si conclude la dimostrazione con l'osservazione che $f$ è misurabile. il libro è Bartle, Elements of integration ecco il libro, io vi ho messo gli appunti che sono più dettagliati in alcuni passaggi
http://bookre.org/loader/img.php?dir=57accfbba593cd909af92a6ca12b1bea&file=72.png
Risposte
"materia":
[...] Ora arriva il pezzo che non capisco : considero $f$identicamente nulla in $X_0$ è dunque ovvio che $\forallx\inX_0||f_n-f||_\infty=||f_n||_\infty->0$ [...]
Questo non credo sia vero, ma in effetti non credo nemmeno che serva, per come Bartle definisce le essentially bounded functions... qual è, più precisamente, il tuo dubbio?
il mio dubbio è che per provare che uno spazio normato X è di Banach, deve provare che ogni successione di Cauchy deve convergere in X, capisco la convergenza in X-X0 ma non capisco come faccia la successione a convergere in X0
Inoltre la parte che hai detto che forse non è vera è l'ultima riga della dimostrazione di Bartle, quindi deve essere vera
Inoltre la parte che hai detto che forse non è vera è l'ultima riga della dimostrazione di Bartle, quindi deve essere vera
"materia":
[...] Inoltre la parte che hai detto che forse non è vera è l'ultima riga della dimostrazione di Bartle, quindi deve essere vera
No, Bartle non dice quello. Bartle "definisce a tratti" la funzione \(f\); dice che \(f(x)\) è \(= \lim f_n (x)\) se \(x \notin M\) mentre la pone (per convenzione) \(= 0 \) nei punti \(x \in M\). Avrebbe potuto equivalentemente porla \(=57\) nei punti di \(M\) perché per lui la convergenza uniforme è convergenza uniforme quasi ovunque, quindi a meno di insiemi di misura di Lebesgue nulla. Nella fattispecie \(M\) ha misura nulla.
Per completezza avresti dovuto richiamare la definizione di \(\sup\)-norma che Bartle usa.
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