$(l^{\infty}, || \cdot ||_{l^{\infty}})$ è sp. di Banach

[feddy]

Buonasera forumisti,

stavo riordinando i miei appunti, e ho notato che non ho provato che $(l^{\infty}, || \cdot ||_{l^{\infty}})$ è uno spazio di Banach. Non volevo cercare dimostrazioni su internet, perché penso che sia abbastanza sulla falsa riga del caso $p$ finito.

Dim:
Sia $\mathbb{K}= \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$

Innanzitutto, tale spazio è normato, e il fatto che $|| \cdot ||_{l^{\infty}}$ sia una norma è noto (le prime due proprietà sono banali, la terza è la disuguaglianza di Minkowski). Resta da provare la completezza.

Dim. completezza:
Sia $(x^n)_{n}$ una successione di Cauchy in $l^{\infty}$. In particolare, ogni elemento di $x^n$ è a sua volta una sequenza in $l^{\infty}$, ad esempio $x^1= (x_{k}^{1})_k$ con $|| x^1||_{l^{\infty}} < +\infty$

Sia $\epsilon >0$. Poiché $(x^n)_{n}$ di Cauchy, allora

$EE n_0 \in \mathbb{N} \text{ tale che per } m,n > n_0, ||x^n - x^m||_{l^{\infty}} < \epsilon$

Perciò per ogni $m,n > n_0$ vale $\text{sup}_{k \in \mathbb{N}} |x_k^n - x_k^m| < \epsilon$

In particolare si ha

$|x_k^n - x_k^m| < \epsilon$, $\forall m,n>n_0$ e $\forall k \in \mathbb{N}$

Perciò, fissato $k$ si ha che $(x_k^n)_n$ è di Cauchy in $\mathbb{K}$, da cui per completezza esiste $\lim_{n \rarr +\infty} x_k^n = y_k$, $\forall k \in \mathbb{N}$, e si può definire $y=(y_k)_k$

Dunque,

$\forall k \in \mathbb{N}, \forall \epsilon >0, EE n_0: m,n>n_0: |x_k^n-x_k^m|<\epsilon$

Essendo questa una disuguaglianza su $\mathbb{K}$, è lecito passare al limite per $m \rarr +\infty$, ottenendo

$\forall k \in \mathbb{N}, \forall \epsilon >0, EE n_0: n>n_0: |x_k^n-y_k|<\epsilon$

ma quest'ultima disuguaglianza implica subito[nota]visto che vale per ogni $k$...[/nota] che $|| x^n - y ||_{l^{\infty}} < \epsilon$, perciò $x^n \rarr y$ in $l^{\infty}$

Va mostrato che $y \in l^{\infty}$: ma $|| y ||_{l^{\infty}}= || y +x^n - x^n ||_{l^{\infty}} \leq || y - x^n||_{l^{\infty}} + || x^n ||_{l^{\infty}} \leq \epsilon + ||x^n||_{l^{\infty}} < +\infty$

q.e.d.

Qualsiasi appunto o altro è ovviamente ben accetto

Edit:
Corretto grazie ad appunti di Bremen

[Bremen000]

E' perfetta. Ma se proprio un vuole farti le pulci:

"feddy":[...] la terza è la disuguaglianza di Minkowski)[...]

Mah in realtà è molto più semplice: se \( (a_n)_n , (b_n)_n \in l^{\infty} \) allora

\[ |a_n + b_n | \le |a_n| + |b_n | \quad \forall \, n \in \mathbb{N} \Rightarrow \sup_n |a_n + b_n| \le \sup_n ( |a_n| + |b_n| ) \le \sup_n |a_n| + \sup_n |b_n| \]

"feddy":[...] è lecito passare al limite per $ m \rarr +\infty $, ottenendo

$ \forall k \in \mathbb{N}, \forall \epsilon >0, EE n_0: m>n_0: |x_k^n-y_k|<\epsilon $

[...]

refusino, ci va $n$ e non $m$.

"feddy":[...]
ma quest'ultima disuguaglianza implica subito che $ || x^n - y ||_{l^{\infty}} < \epsilon $, perciò $ x^n \rarr y $ in $ l^{\infty} $
[...]

Se proprio vogliamo dare sfogo ai miei più reconditi istinti di pignolo: ci va la disuguaglianza larga, non stretta.

"feddy":[...] ma $ || y ||_{l^{\infty}}= || y + x^n - x^n ||_{l^{\infty}} \leq || y + x^n||_{l^{\infty}} + || x^n ||_{l^{\infty}} \leq \epsilon + ||x^n||_{l^{\infty}} < +\infty $
[...]

Qui c'è un refuso (ci va il $-$ nella prima norma dopo la prima disuguaglianza) e per essere (inutilmente) pignoli dovresti specificare che è sempre $n>n_0$.

[feddy]

Ciao Bremen, e grazie !

Leggo "alla mano":
- prima due osservazioni ok, sulla seconda ovviamente intendevo $n$, grazie per la correzione.
- mmm perché disuguaglianza larga?
- Certamente (nonostante rilegga dal foglio qualcosa mi scappa sempre), correggo !

[Bremen000]

Ciao! A rigore ci va la disuguaglianza larga perché non è detto che passando al sup rimanga quella stretta. Per esempio
\[ a_n= 1-1/n <1 \quad \forall n \in \mathbb{N}, n \ge 1 \]

ma \( \sup a_n = 1 \) che non è minore di $1$.

Ma ai fini della dimostrazione non cambia nulla!

[feddy]

Certo.

Grazie ancora!

[Bremen000]

Di nulla! E' sempre un piacere!