Limite distribuzionale

[Covenant]

Devo calcolare il limite distribuzionale della seguente successione di distribuzioni: $$T_n= \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{2n}k \delta_{\frac kn} $$
Questa la mia soluzione:

Possiamo notare che:
$$ = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{2n}k \phi\left(\frac kn\right) = \frac 12 \left( \frac 2n \sum_{k=1}^{2n} \frac kn \phi\left(\frac kn\right) \right)$$
Osserviamo che $\frac 2n \sum_{k=1}^{2n} \frac kn \phi\left(\frac kn\right)$ definisce una somma integrale della funzione $x \phi(x)$ sull'intervallo $[0,2]$ e quindi:
$$ \lim_{n \to \infty} = \lim_{n \to \infty} \frac 12 \left( \frac 2n \sum_{k=1}^{2n} \frac kn \phi\left(\frac kn\right) \right) = \int_0^2 \frac x2 \phi(x) \: \mathrm{d}x $$
Concludiamo allora che
$$T_n \to T_f \quad \quad \text{con } f=\frac x2 \mathbb{1}_{[0,2]}$$

Nelle dispense però è indicato $T_n \to 0$ come soluzione dell'esercizio. Chi sta sbagliando?

[Studente Anonimo]

"Covenant":
... definisce una somma integrale della funzione $x\phi(x)$ sull'intervallo $[0,2]$ ...

Veramente, poichè il numero di intervalli è $2n$, la somma di cui parli è:

$2n\sum_{k=1}^(2n) k/n\phi(k/n)$

[Bremen000]

Ciao, secondo me c'è qualcosa che non va nelle somme di Riemann. Mi spiego:

Prendi \( f \in C^{0}([a,b]) \) allora \[ \int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f \Biggl ( a+\frac{k(b-a)}{2n} \Biggr ) \frac{b-a}{2n}\]

Nel nostro caso \( f(x) = x\phi(x) \) e $b=2, a=0$ da cui:

\[ \int_0^2 x\phi(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} \frac{2k}{2n} \phi \Biggl ( \frac{2k}{2n} \Biggr ) \frac{2}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \frac{k}{n} \phi \Biggl ( \frac{k}{n} \Biggr )\]

[Studente Anonimo]

Ho sbagliato. Non:

$2n\sum_{k=1}^(2n) k/n\phi(k/n)$

piuttosto:

$1/n\sum_{k=1}^(2n) k/n\phi(k/n)$

La stessa conclusione di Bremen000 per intenderci.

[Bremen000]

In ogni caso, a parte quel $2$, il procedimento è giusto e si ha

\[ T_n \overset{\mathcal{D}'(\mathbb{R})}{\to} f \]

con \( f(x) = x \mathbb{1}_{[0,2]}(x) \).

[Covenant]

"Bremen000":Ciao, secondo me c'è qualcosa che non va nelle somme di Riemann. Mi spiego:

Prendi \( f \in C^{0}([a,b]) \) allora \[ \int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f \Biggl ( \frac{k(b-a)}{2n} \Biggr ) \frac{b-a}{2n}\]

Nel nostro caso \( f(x) = x\phi(x) \) e $b=2, a=0$ da cui:

\[ \int_0^2 x\phi(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} \frac{2k}{2n} \phi \Biggl ( \frac{2k}{2n} \Biggr ) \frac{2}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \frac{k}{n} \phi \Biggl ( \frac{k}{n} \Biggr )\]

Intanto grazie della risposta.
Ma la somma di Riemann su $[a,b]$ non dovrebbe essere questa? $$ \sum_{k=1}^n f \left( a+\frac{b-a}{n}k \right)\frac{b-a}{n} $$

Inoltre avrei un'altra domanda riguardante le somme di Riemann non correlata a questo esercizio: se $f$ è integrabile su $[a,b]$ posso scrivere quanto segue?

$$ \sum_{k=an}^{bn} f \left( \frac kn \right) \frac{b-a}{n} \to \int_a^b f(x) \: \mathrm{d}x$$

[Bremen000]

"Covenant":
Ma la somma di Riemann su $[a,b]$ non dovrebbe essere questa? $$ \sum_{k=1}^n f \left( a+\frac{b-a}{n}k \right)\frac{b-a}{n} $$

Si, hai ragione. Manca un "$a + $" nella mia formula, non me ne sono accorto perché $a=0$ poi. Correggo.

In ogni caso la formula, corretto questo errore, è quella, solo che invece di avere $n$ sottointervalli ne hai $2n$.

La seconda domanda non mi è chiara, $k$ è intero, come varia in quella sommatoria?