Limite di Banach.
Sia \( F : \ell_{\mathbb{R}}^{\infty} \to \mathbb{R} \) un limite di Banach, ovver \(F\) è lineare, \( \lim \inf_{n \to \infty} x_n \leq F(x) \leq \operatorname{limsup}_{n \to \infty} x_n \) e \( F(x)=F(Sx) \) dove se \( x = (x_1,x_2,\ldots) \in \ell_{\mathbb{R}}^{\infty} \) allora \( Sx = (x_2,x_3,\ldots) \)
Dimostra che per ogni \(x \in \ell_{\mathbb{R}}^{\infty} \) risulta che
\[ F(x) \leq \inf \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
dove l'infimum è preso su \(k \in \mathbb{N} \) e su tutti gli insiemi finiti d'interi \(n_1,\ldots,n_k \in \mathbb{N} \).
Dedurre in seguito che
\[ F(x) \geq \sup \operatorname{liminf}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
Per le successioni limitate e crescenti penso di riuscire a dimostrarlo nel seguente modo:
La mia idea è di dimostrare che per ogni \(k \in \mathbb{N} \) e per ogni \( n_1,\ldots,n_k \in \mathbb{N} \) abbiamo che
\[ \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \geq \operatorname{limsup}_{j \to \infty} x_j \]
e conseguentemente anche l'inf lo sarà.
Per farlo la mia idea è questa:
Fissiamo \(j, k \in \mathbb{N} \) e \( n_1, \ldots, n_k \in \mathbb{N} \), tale che definito
Sia \( m(k,n_i,j) : = \inf_{\gamma= j+n_i} x_{\gamma} \) risulta che \( m(k,n_i,j) \geq x_j \).
Abbiamo allora che
\[ \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \geq \sum_{i=1}^{k} m(k,n_i,j) = km(k,n_i,j) \geq k x_j \]
e dunque per questa scelta di \(n_i \) abbiamo che
\[ \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \geq x_j \]
Se prendiamo il limsup su \(j \to \infty \) resterà vero per quei \(k\) e quei \(n_1,\ldots, n_k \) che verificano la proprietà suddetta e dunque
\[ \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \geq \operatorname{limsup}_{j \to \infty} x_j \]
E per arbitrarietà di \(k\) e dei \(n_1,\ldots,n_k \) risulta vero il claim.
Ma per le successioni che non sono crescenti non ho idea. E onestamente non mi convince molto nemmeno questa per le successioni crescenti.
Dimostra che per ogni \(x \in \ell_{\mathbb{R}}^{\infty} \) risulta che
\[ F(x) \leq \inf \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
dove l'infimum è preso su \(k \in \mathbb{N} \) e su tutti gli insiemi finiti d'interi \(n_1,\ldots,n_k \in \mathbb{N} \).
Dedurre in seguito che
\[ F(x) \geq \sup \operatorname{liminf}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
Per le successioni limitate e crescenti penso di riuscire a dimostrarlo nel seguente modo:
La mia idea è di dimostrare che per ogni \(k \in \mathbb{N} \) e per ogni \( n_1,\ldots,n_k \in \mathbb{N} \) abbiamo che
\[ \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \geq \operatorname{limsup}_{j \to \infty} x_j \]
e conseguentemente anche l'inf lo sarà.
Per farlo la mia idea è questa:
Fissiamo \(j, k \in \mathbb{N} \) e \( n_1, \ldots, n_k \in \mathbb{N} \), tale che definito
Sia \( m(k,n_i,j) : = \inf_{\gamma= j+n_i} x_{\gamma} \) risulta che \( m(k,n_i,j) \geq x_j \).
Abbiamo allora che
\[ \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \geq \sum_{i=1}^{k} m(k,n_i,j) = km(k,n_i,j) \geq k x_j \]
e dunque per questa scelta di \(n_i \) abbiamo che
\[ \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \geq x_j \]
Se prendiamo il limsup su \(j \to \infty \) resterà vero per quei \(k\) e quei \(n_1,\ldots, n_k \) che verificano la proprietà suddetta e dunque
\[ \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \geq \operatorname{limsup}_{j \to \infty} x_j \]
E per arbitrarietà di \(k\) e dei \(n_1,\ldots,n_k \) risulta vero il claim.
Ma per le successioni che non sono crescenti non ho idea. E onestamente non mi convince molto nemmeno questa per le successioni crescenti.
Risposte
No molto più facile.
Noto con \( S^{n_i} x = \underbrace{S \ldots S}_{n_i-volte}x \) allora
\[ F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(S^{n_i}x) \leq \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} \operatorname{limsup}_{j \to \infty} x_{j+n_i} \leq \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
dove l'ultima disuagualianza arriva dalla sublinearità del limsup.
Per arbitrarietà degli \( n_i \) e di \(k \) concludiamo.
Edit: L'ultimo passaggio è sbagliato.... non so come fare di meglio onestamente.
Noto con \( S^{n_i} x = \underbrace{S \ldots S}_{n_i-volte}x \) allora
\[ F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(S^{n_i}x) \leq \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} \operatorname{limsup}_{j \to \infty} x_{j+n_i} \leq \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
dove l'ultima disuagualianza arriva dalla sublinearità del limsup.
Per arbitrarietà degli \( n_i \) e di \(k \) concludiamo.
Edit: L'ultimo passaggio è sbagliato.... non so come fare di meglio onestamente.
Risolto!
\[ F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(S^{n_i}x) = F \left( \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} S^{n_i}x_j \right) \leq \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
Dove nella terza uguaglianza usiamo la linearità di \(F\). E per arbitrarietà di \(k\) e \(n_i \) deduciamo che
\[ F(x) \leq \inf \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i}\]
Analogamente per il sup abbiamo
\[ F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(S^{n_i}x) = F \left( \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} S^{n_i}x_j \right) \geq \operatorname{liminf}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
e dunque
\[ F(x) \geq \sup \operatorname{liminf}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i}\]
\[ F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(S^{n_i}x) = F \left( \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} S^{n_i}x_j \right) \leq \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
Dove nella terza uguaglianza usiamo la linearità di \(F\). E per arbitrarietà di \(k\) e \(n_i \) deduciamo che
\[ F(x) \leq \inf \operatorname{limsup}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i}\]
Analogamente per il sup abbiamo
\[ F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(x) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} F(S^{n_i}x) = F \left( \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} S^{n_i}x_j \right) \geq \operatorname{liminf}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i} \]
e dunque
\[ F(x) \geq \sup \operatorname{liminf}_{j \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{j+n_i}\]
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