Lemma(per rappr. di Riesz)
Ciao!
Ho provato a dimostrare il seguente teorema
sia $(H,<<*,*>>)$ uno spazio di Hilbert reale e sia $M$ un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di $H$ allora per ogni $x in H$ esiste un unico $y:=p_M(x) in M$ per cui $i n f_(z in M)norm(x-z)=norm(x-y)$ e tale $y$ è l’unica soluzione del problema
Inoltre se $M$ è un sottospazio chiuso di $H$ allora $x-p_M(x) in M^(_|_)$
dim
Dato $x in H$ pongo $d= i n f_(z in M)norm(x-z)$
Mostro intanto che se una soluzione di quel problema esiste allora è unica; di fatto se $y_2,y_1$ sono soluzioni allora si ha contemporaneamente
Sommando si ottiene $norm(y_2-y_1)^2leq0 => y_2=y_1$
1) $d=0 <=> x in overline(M)=M$ e in particolare $<> =0$
Quindi per $d=0$ va bene
2) $d>0, d in RR$ allora considero una successione ${y_n}_(n inNN)subsetM$ per cui $norm(x-y_n)->d$; questa è una successione di Cauchy in quanto dalla “uguaglianza del parallelogramma” segue
L’ultimo pezzo è $leq-4d^2$ in quanto $(y_n+y_m)/2 in M$ per convessità e la tesi segue considerando da come è stata costruita la successione
Quindi tale successione ammette, per completezza di un chiuso in un completo, una sottosuccessione convergente ad un certo $y in M$ e per continuità della norma si ottiene $d=norm(x-y)$
Se esistesse un altro $z in M$ per cui viene raggiunto $d$ si avrebbe
Resta da dimostrare che $y$ è soluzione di quel problema;
Sia $z in M$ allora per ogni $lambda=1/n in [0,1]$ per convessità(ovvero $y+1/n(z-y) in M$) si ottiene
Da cui $<> leq 1/n norm(z-y)^2, forall n in NN$ e passando al limite(o all’inf) si ottiene la tesi.
Ho cercato di stringere il più possibile; se è corretto posto il secondo che fa uso di quanto dimostrato fino ad ora.
Ho provato a dimostrare il seguente teorema
sia $(H,<<*,*>>)$ uno spazio di Hilbert reale e sia $M$ un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di $H$ allora per ogni $x in H$ esiste un unico $y:=p_M(x) in M$ per cui $i n f_(z in M)norm(x-z)=norm(x-y)$ e tale $y$ è l’unica soluzione del problema
${(y in M),(<> leq0 forall z inM):}$
Inoltre se $M$ è un sottospazio chiuso di $H$ allora $x-p_M(x) in M^(_|_)$
dim
Dato $x in H$ pongo $d= i n f_(z in M)norm(x-z)$
Mostro intanto che se una soluzione di quel problema esiste allora è unica; di fatto se $y_2,y_1$ sono soluzioni allora si ha contemporaneamente
$<> leq0$ per $i,j=1,2$ e $i nej$
Sommando si ottiene $norm(y_2-y_1)^2leq0 => y_2=y_1$
1) $d=0 <=> x in overline(M)=M$ e in particolare $<
Quindi per $d=0$ va bene
2) $d>0, d in RR$ allora considero una successione ${y_n}_(n inNN)subsetM$ per cui $norm(x-y_n)->d$; questa è una successione di Cauchy in quanto dalla “uguaglianza del parallelogramma” segue
$norm(y_n-y_m)^2=2norm(x-y_n)^2+2norm(x-y_m)^2-4norm(x-(y_n+y_m)/2)^2$
L’ultimo pezzo è $leq-4d^2$ in quanto $(y_n+y_m)/2 in M$ per convessità e la tesi segue considerando da come è stata costruita la successione
Quindi tale successione ammette, per completezza di un chiuso in un completo, una sottosuccessione convergente ad un certo $y in M$ e per continuità della norma si ottiene $d=norm(x-y)$
Se esistesse un altro $z in M$ per cui viene raggiunto $d$ si avrebbe
$norm(z-y)^2=2norm(x-z)^2+2norm(x-y)^2-4norm(x-(y+z)/2)^2leq0=> z=y$
Resta da dimostrare che $y$ è soluzione di quel problema;
Sia $z in M$ allora per ogni $lambda=1/n in [0,1]$ per convessità(ovvero $y+1/n(z-y) in M$) si ottiene
$norm(x-y)^2leqnorm(x-y-1/n(z-y))^2$
Da cui $<
Ho cercato di stringere il più possibile; se è corretto posto il secondo che fa uso di quanto dimostrato fino ad ora.
Risposte
Aspetta aspetta, come dici? "Completezza di un chiuso in un completo" implica che ogni successione ha una estratta convergente? Questo capisco, da come hai scritto.
Poi non capisco perché dimostri l'unicità due volte.
Poi non capisco perché dimostri l'unicità due volte.
Ciao Peppe 
La successione in questione è di Cauchy in $M$ e quest’ultimo è un sottospazio chiuso di uno spazio completo quindi converge in $M$.
La prima unicità è legata alla soluzione del sistema, la seconda è legata alla proiezione.
La successione in questione è di Cauchy in $M$ e quest’ultimo è un sottospazio chiuso di uno spazio completo quindi converge in $M$.
La prima unicità è legata alla soluzione del sistema, la seconda è legata alla proiezione.
Aah. Ma mica hai scritto questo però. Da dove esce l'estratta convergente? 
P.S.: A Settembre mi faccio un giro in Sicilia, non vedo l'ora. Sto cercando di perdere un po' di peso adesso, perché il mio piano è di strafocarmi senza ritegno là
P.S.: A Settembre mi faccio un giro in Sicilia, non vedo l'ora. Sto cercando di perdere un po' di peso adesso, perché il mio piano è di strafocarmi senza ritegno là
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