Lax Pair for KdV eq

[Gabriele Pagnanelli]

Salve, sono alle prese con il calcolo della Lax pair per l'equazione di KdV. Da questo schema dovrei, ponendo i vari coefficienti di (4) a 0, ottenere l'equazione di KdV e la forma definitiva di $M$. Sto tenendo conto dell'applicazione della derivata seconda al prodotto $alpha partial^j$ nel termine $LM$ ma non riesco comunque a trovare l'esatta forma dei coefficienti.

\begin{equation}
L_t + [L,M] = 0.
\label{eq:lax4}
\end{equation}
\begin{equation}
L := -\partial^2_x + u(x, t),
\label{eq:lax5}
\end{equation}

\begin{equation}
M = \alpha_3 \partial^3_x + \alpha_2 \partial^2_x + \alpha_1 \partial_x + \alpha_0,
\label{eq:lax6}
\end{equation}

dove i coefficienti \(\alpha_j\) con \(j = 0, 1, 2, 3\) possono dipendere da \(x\) e \(t\).
Si noti che \(L_t = u_t\). Usando (\ref{eq:lax5}) e (\ref{eq:lax6}) in (\ref{eq:lax4}), si ottiene un'equazione del tipo:

\begin{equation}
( ) \partial^5_x + ( ) \partial^4_x + ( ) \partial^3_x + ( ) \partial^2_x + ( ) \partial_x + ( ) = 0,
\label{eq:lax7}
\end{equation}

Grazie per l'aiuto!

[pilloeffe]

Ciao Gabriele Pagnanelli,

"Gabriele Pagnanelli":l'equazione di KdV

Di quale equazione di Korteweg–de Vries precisamente stai parlando?
Perché ce ne sono diverse:
https://en.wikipedia.org/wiki/Korteweg%E2%80%93De_Vries_equation

Quella standard può essere riformulata come equazione di Lax:

$L_t = [L, M] := L M − M L $

con $L$ operatore di Sturm–Liouville:

$ L = -\partial_{x}^2 + u(x, t) $

$ M =4\partial_{x}^3 - 6u \partial_x - 3[\partial_x, u] $

ove $[\partial_x , u] $ è il commutatore tale che $[\partial_x , u ] f = f \partial_x u $

[Gabriele Pagnanelli]

Quella standard che hai citato, \(\displaystyle u_t - 6 u u_x + u_{xxx} = 0 \)