Laurent vs Taylor
Ho iniziato a studiare la serie di Laurent e, detto in poche parole e informalmente, ho capito che:
Data una funzione olomorfa in un intorno circolare di z0, possiamo esprimerla tramite serie di Taylor nell'intorno stesso.
Qualora lo sviluppo di Taylor non dovesse essere applicabile... la funzione, se è olomorfa in una corona circolare di centro in z0, può essere espressa tramite serie di Laurent nella corona stessa.
Quindi mi sorge un dubbio: La differenza tra i due sviluppi è legata soltanto ai loro rispettivi intorni? (uno circolare, l'alro una corona circolare). Cioè, nel primo caso è olomorfa in un cerchietto; mentre nel secondo in una corona... ?
Oppure esistono altre condizioni affinché Taylor non sia applicabile mentre Laurent sì?
Data una funzione olomorfa in un intorno circolare di z0, possiamo esprimerla tramite serie di Taylor nell'intorno stesso.
Qualora lo sviluppo di Taylor non dovesse essere applicabile... la funzione, se è olomorfa in una corona circolare di centro in z0, può essere espressa tramite serie di Laurent nella corona stessa.
Quindi mi sorge un dubbio: La differenza tra i due sviluppi è legata soltanto ai loro rispettivi intorni? (uno circolare, l'alro una corona circolare). Cioè, nel primo caso è olomorfa in un cerchietto; mentre nel secondo in una corona... ?
Oppure esistono altre condizioni affinché Taylor non sia applicabile mentre Laurent sì?
Risposte
Ragiona sugli esempi, non su concetti astratti. La funzione \(f(z)=\frac{1}{z}\) si può sviluppare in serie di Taylor di centro l'origine? E la funzione \(f(z)=z+\frac1z\)? Eccetera. Costruisciti esempi.
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