Laplaciano in coordinate cilindriche

[rmba]

Qualcuno potrebbe spiegarmi il metodo per ricavare il laplaciano in coordinate cilindriche?
Trovo sempre la formula fatta e finita, ma mai il procedimento completo.
Dalla pagina di wikipedia non sono riuscito a venirne a capo. Grazie

[gugo82]

Sono conti abbastanza scoccianti.
Prendi una funzione $u(x,y,z)$ e trasformala in coordinate cilindriche $U(r,\theta , h) := u(r\cos \theta , r\sin \theta , h)$; poi calcola le derivate.
Ti avviso: ci vuole una ventina di minuti.

[gugo82]

Posto i conti, una volta per tutte...

La trasformazione di coordinate che stiamo considerando è:
\[
\begin{cases}
x = r\ \cos \theta\\
y = r\ \sin \theta\\
z = h
\end{cases}\; ;
\]
da ciò e dalla regola di derivazione delle funzioni composte si ricavano le seguenti espressioni per gli operatori di derivazione parziale:
\[
\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial r} = \cos \theta\ \frac{\partial}{\partial x} + \sin \theta\ \frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial \theta} = -r\ \sin \theta\ \frac{\partial}{\partial x} + r\ \cos \theta\ \frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial h} = \frac{\partial}{\partial z}
\end{cases}
\]
da cui segue:
\[
\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial x} = \cos \theta\ \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin \theta\ \frac{\partial}{\partial \theta} \\
\frac{\partial}{\partial y} = \sin \theta\ \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\ \cos \theta\ \frac{\partial}{\partial \theta} \\
\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial h}
\end{cases}\; .
\]
Ora le derivate seconde pure (le sole che servono per il Laplaciano... Se vuoi calcolare pure quelle miste, fai pure! ):
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \frac{\partial }{\partial x}\left[ \frac{\partial }{\partial x}\right] \\
&= \cos \theta\ \frac{\partial}{\partial r}\left[ \cos \theta\ \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin \theta\ \frac{\partial}{\partial \theta} \right] - \frac{1}{r} \sin \theta\ \frac{\partial}{\partial \theta}\left[ \cos \theta\ \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin \theta\ \frac{\partial}{\partial \theta} \right] \\
&= \frac{\sin^2 \theta}{r}\ \frac{\partial }{\partial r} + \frac{\sin 2\theta}{r^2}\ \frac{\partial }{\partial \theta} + \cos^2 \theta\ \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{\sin 2\theta}{r}\ \frac{\partial^2}{\partial r\partial \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{r^2}\ \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\\
\frac{\partial^2}{\partial y^2} &= \frac{\cos^2 \theta}{r}\ \frac{\partial }{\partial r} - \frac{\sin 2\theta}{r^2}\ \frac{\partial }{\partial \theta} + \sin^2 \theta\ \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin 2\theta}{r}\ \frac{\partial^2}{\partial r\partial \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{r^2}\ \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\
\frac{\partial^2}{\partial z^2} &=\frac{\partial^2}{\partial h^2}
\end{split}
\]
da cui:
\[
\begin{split}
\Delta &= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \\
&= \frac{\partial^2 }{\partial r^2} + \frac{1}{r}\ \frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{r^2}\ \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2}{\partial h^2}\; .
\end{split}
\]

Questi sono dei calcoli che ho sempre trovato noiosissimo fare...

[rmba]

Quando calcoli le derivate parziali delle componenti in r e theta come arrivi alle derivate delle componenti? Risolvendo il sistema per sostituzione tipo ricavando la derivata parziale in x dalla prima e sostituendo nella seconda?

[dissonance]

Se conosci la geometria differenziale puoi usare la formula per il Laplaciano in un sistema di coordinate arbitrario, che è facile da ricordare:

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_o ... dimensions

Questo sposta la difficoltà sul calcolare il tensore metrico (elemento di lunghezza), che però con la pratica è più facile.

[gugo82]

"rmba":Quando calcoli le derivate parziali delle componenti in r e theta come arrivi alle derivate delle componenti? Risolvendo il sistema per sostituzione tipo ricavando la derivata parziale in x dalla prima e sostituendo nella seconda?

Ho usato Cramer, perché il determinante del sistema è noto (è lo jacobiano della trasformazione di coordinate) ed il sistema separa le prime due equazioni dalla terza.