La cardinalità dell'immagine di una funzione semplice è minore di \( 2^n \)
Sia \( (X,\mathscr M) \) uno spazio misurabile. Siano \( E_1,\dots,E_n\in \mathscr M \) insiemi misurabili e siano \( a_1,\dots,a_n\in \mathbb R \). Sia \( \phi = \sum_{i = 1}^n a_i\chi_{E_i} \), dove \( \chi_{E_i}\colon X\to \mathbb R \) mappa \( 1 \) su \( E_i \) e \( 0 \) altrove.
Detta \( \phi_*(X) \) l'immagine di \( \phi \), voglio provare che
\[
\phi_*(X)\subset \left\{\sum_{a\in A}a : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\}
\] dove \( 2^{\{a_1,\dots,a_n\}} \) è l'insieme delle parti di \( \{a_1,\dots,a_n\} \), e in definitiva che
\[
\lvert \phi_*(X)\rvert < \infty
\] dove con le stanghette indico la cardinalità. Riesco a dimostrare la prima affermazione, ma non la seconda.
Per induzione. Il caso \( n = 1 \) è vero. Supponiamo che il claim valga per \( n > 1 \). Sia \( \phi = \sum_{i = 1}^{n + 1}a_i\chi_{E_i} \) per \( E_1,\dots,E_n,E_{n + 1}\in \mathscr M \) e \( a_1,\dots,a_n,a_{n + 1}\in \mathbb R \). Allora
\[
\phi = \sum_{i = 1}^n a_i\chi_{E_i} + a_{n + 1}\chi_{E_{n + 1}}
\] e quindi
\[
\phi_*(X)\subset \left\{\sum_{a\in A}a : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\} + \{a_{n + 1},0\} = \left\{\sum_{a\in A}a + a_{n + 1} : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\}\cup \left\{\sum_{a\in A}a : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\}\subset \left\{\sum_{b\in B}a : B\in 2^{\{a_1,\dots,a_n,a_{n + 1}\}}\right\}
\] dove se \( S,T\subset \mathbb R \) pongo \( S + T = \{s + t : \text{\( s\in S \), \( t\in T \)}\} \). Questo dimostra una cosa.
Per far vedere che \( \lvert \phi_*(X)\rvert < \infty \) ho pensato di costruire una funzione iniettiva
\[
f\colon \left\{\sum_{a\in A}a : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\}\to 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}
\] ma qui mi blocco. Sicuramente è facile, solo che ho sempre paura quando devo costruire funzioni tra insiemi finiti.
Detta \( \phi_*(X) \) l'immagine di \( \phi \), voglio provare che
\[
\phi_*(X)\subset \left\{\sum_{a\in A}a : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\}
\] dove \( 2^{\{a_1,\dots,a_n\}} \) è l'insieme delle parti di \( \{a_1,\dots,a_n\} \), e in definitiva che
\[
\lvert \phi_*(X)\rvert < \infty
\] dove con le stanghette indico la cardinalità. Riesco a dimostrare la prima affermazione, ma non la seconda.
Per induzione. Il caso \( n = 1 \) è vero. Supponiamo che il claim valga per \( n > 1 \). Sia \( \phi = \sum_{i = 1}^{n + 1}a_i\chi_{E_i} \) per \( E_1,\dots,E_n,E_{n + 1}\in \mathscr M \) e \( a_1,\dots,a_n,a_{n + 1}\in \mathbb R \). Allora
\[
\phi = \sum_{i = 1}^n a_i\chi_{E_i} + a_{n + 1}\chi_{E_{n + 1}}
\] e quindi
\[
\phi_*(X)\subset \left\{\sum_{a\in A}a : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\} + \{a_{n + 1},0\} = \left\{\sum_{a\in A}a + a_{n + 1} : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\}\cup \left\{\sum_{a\in A}a : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\}\subset \left\{\sum_{b\in B}a : B\in 2^{\{a_1,\dots,a_n,a_{n + 1}\}}\right\}
\] dove se \( S,T\subset \mathbb R \) pongo \( S + T = \{s + t : \text{\( s\in S \), \( t\in T \)}\} \). Questo dimostra una cosa.
Per far vedere che \( \lvert \phi_*(X)\rvert < \infty \) ho pensato di costruire una funzione iniettiva
\[
f\colon \left\{\sum_{a\in A}a : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\}\to 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}
\] ma qui mi blocco. Sicuramente è facile, solo che ho sempre paura quando devo costruire funzioni tra insiemi finiti.
Risposte
Cioè non riesci a dimostrare che ${\sum_(a\inA)a|A\inP({a_i}_(1<=i<=n))}$ è finito? Cerca una funzione suriettiva da $P({a_i}_(1<=i<=n))$ a quello.
Sì, certo, hai ragione. Ma non c'è un modo per costruire a mano una funzione iniettiva come quella che sto cercando io? Non mi serve a niente per il resto del discorso, lo so, è solo un esercizio che volevo provare a fare.
Il verso c'è, basta che prendi un'inversa destra di una funzione che ho detto io e il gioco è fatto, ma è veramente poco interessante.
Non capisco, hai dimostrato una cosa che implica quello che vuoi fare, perché l'insieme \(\left\{\sum_{a\in A}a : A\in 2^{\{a_1,\dots,a_n\}}\right\}\)[¹] è ovviamente finito: è l'immagine di un insieme finito, le parti di \(\{1,\dots,n\}\), mediante la funzione somma \(\_+\_ : 2^n \to \mathbb R : (U\subseteq \{1,\dots,n\})\mapsto \sum_{x\in U} x\).
[¹]: che se interpreto bene, è l'insieme delle somme della forma \(a_{i_1} + \dots + a_{i_k}\) dove \(\{i_1,\dots, i_k\}\) è un sottoinsieme di \(\{1,\dots,n\}\)
[¹]: che se interpreto bene, è l'insieme delle somme della forma \(a_{i_1} + \dots + a_{i_k}\) dove \(\{i_1,\dots, i_k\}\) è un sottoinsieme di \(\{1,\dots,n\}\)
Sì sì, certo che è finito, volevo solo capire se era possibile costruire più esplicitamente una \( f\colon \{\sum_{a\in A}a : \cdots\}\to 2^{\{\cdots\}} \).
Il problema col prendere un'inversa destra di \( g\colon A\mapsto \sum_{a\in A}a \) sarebbe stato che... l'inversa destra non l'ho costruita esplicitamente! Era solo una cosa che volevo vedere se sapevo fare, non c'ha nessuna utilità pratica comunque (né c'entra nulla con la teoria della misura, ma non avevo voglia di cambiare le notazioni).
Il problema col prendere un'inversa destra di \( g\colon A\mapsto \sum_{a\in A}a \) sarebbe stato che... l'inversa destra non l'ho costruita esplicitamente! Era solo una cosa che volevo vedere se sapevo fare, non c'ha nessuna utilità pratica comunque (né c'entra nulla con la teoria della misura, ma non avevo voglia di cambiare le notazioni).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo