L-function non si annullano in \(s=1\) per dei caratteri non principali.

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Ho difficoltà a capire diversi passaggi nella dimostrazione di questo lemma.

Sia \( \chi \mod q \) un carattere di Dirichlet non prinicipale. Allora \( L(1,\chi) \neq 0 \). Dove \( L(s,\chi) \) è la \(L\)-function associata a \( \chi \).

Per semplicità ho suddiviso la dimostrazione in più step. Ogni step è un piccolo claim e nello spoiler ci sono le domande, segue poi la dimostrazione.
Grazie anche a chi riesce a rispondermi solo ad alcune di queste domande. Grazie.

Step 1: Dimostriamo che per ogni numero reale \( s > 1 \) abbiamo
\[ \prod_{ \chi \mod q} L(s,\chi) \geq 1 \]

- Non capisco semplicemente l'uguaglianza (1)

Abbiamo allora
\[ \sum_{ \chi \mod q} \log L(s,\chi) \stackrel{(1)}{=} \sum_{p} \sum_{ \ell \geq 1} \frac{1}{\ell p^{\ell s}} \sum_{\chi \mod q} \chi(p^{\ell}) = \varphi(q) \sum_{p} \sum_{\substack{ \ell \geq 1 \\ p^{\ell} \equiv 1 \mod q} } \frac{1}{\ell p^{\ell s}} \geq 0 \]

è immediato allora il risultato.

Step 2: Esiste al massimo un carattere non principale \( \chi \) tale che \( L(1,\chi ) = 0 \).

- Quello che non capisco è nella contraddizione dello step 1. Cioè capisco che la ragione sta nel fatto che \(L(s,\chi_0) \) possiede un polo semplice in \(s=1\) e quindi compensa l'annullarsi di una singola \(L(s,\chi_1)\) ma non vedo come la compensa.

Supponiamo che esistano due caratteri non principali differenti \( \chi_1 , \chi_2 \mod q \), in cui la funzione \(L\) associata si annulla in \(s=1\). Di conseguenza, se \( \chi_0 \) è il carattere principale, abbiamo
\[ \prod_{ \chi \mod q} L(s,\chi) = L(s, \chi_0) L(s,\chi_1) L(s,\chi_2) \prod_{\substack{\chi \mod q \\ \chi \neq \chi_0,\chi_1,\chi_2}} L(s,\chi) \]
si annullerebbe pure in \(s=1\), siccome \( L(s,\chi_0 ) \) possiede un polo semplice, e tutte le altre \(L(s,\chi) \) sono olomorfe. Questo contraddice step 1. In particolare esiste al più un carattere non principale \( \chi \mod q \) tale che \( L(s,\chi)=0\).

Step 3: Se esiste un carattere non principale tale che \( L(1,\chi) = 0 \) allora \( \chi \) è reale.

- Semplicemente non capisco come faccia a dire che vale anche per \(s=1\), cioè dimostra quanto segue per \( \Re(s) > 1 \) e poi me lo applica per \(s=1\).

Per questo carattere abbiamo, per \( \Re(s) > 1 \) che
\[ \overline{L(s,\chi)} = \overline{\sum_{n\geq 1} \frac{\chi(n)}{n^s} } = \sum_{n \geq 1} \frac{ \overline{\chi(n)}}{n^{\overline{s}}} = L(\overline{s},\overline{\chi}) \]
in particolare \( L(1,\chi) = 0 \Leftarrow L(1,\overline{\chi})=0 \) e concludiamo allora che \( \chi = \overline{\chi} \) pertanto è reale!

Per il seguito poniamo
\[ \sigma_{\chi}(n) : = \sum_{d \mid n } \chi(d) \]


Per un carattere reale non principale abbiamo che
Step 4:
\[ \sum_{n \leq x} \frac{\sigma_{\chi}(n)}{n^{1/2}} = 2L(1,\chi) + O(1) \]

- Nell'uguaglianza (1) non capisco perché a numeratore abbiamo \( \chi(a) \) io direi piuttosto \( \chi(ab) \).
- Nell'uguaglianza (2) non capisco gli indici delle somme. Perché non sono simmetrici? E direi sempre che \( \chi(ab) \)
- In (3) invece non capisco come fa a fare quella stima.
- In (4) nemmeno capisco come fa a fare quella stima.
- In (5) non capisco dove sparisce il termine \( C \sum_{a \leq \sqrt{x}} \frac{\chi(a)}{a^{1/2}} \)
- In (6) direi che gli indici sulla sommatoria sono piuttosto così
\[ \stackrel{(6)}{=} L(1,\chi ) - \sum_{a \geq \sqrt{x}} \frac{\chi(a)}{a} \]
- In (7) non capisco come trova l' O-grande.
- In (8) direi che piuttosto è
\[ \sum_{n \leq x} \frac{\sigma_{\chi}(n)}{n^{1/2}} \stackrel{(8)}{=} 2\sqrt{x} L(1,\chi) + O(1) \]



Utilizziamo il metodo dell'iperbole di Dirichlet per stimare \( \sum_{n \leq x} \frac{\sigma_{\chi}(n)}{n^{1/2}} \). Abbiamo allora
\[ \sum_{n \leq x} \frac{\sigma_{\chi}(n)}{n^{1/2}} \stackrel{(1)}{=} \sum_{ ab \leq x} \frac{\chi(a)}{(ab)^{1/2}} \stackrel{(2)}{=} \sum_{a \leq \sqrt{x}} \frac{\chi(a)}{a^{1/2}} \sum_{b \leq x/a} \frac{1}{b^{1/2}} + \sum_{b \leq \sqrt{x}} \frac{1}{b^{1/2}} \sum_{\sqrt{x} < a \leq x/b} \frac{\chi(a)}{a^{1/2}} \]
Stimiamo dunque la seguente sommatoria utilizzando la formula sommatoria di Abel
\[ \sum_{x < a \leq y} \frac{\chi(a)}{a^{\sigma}} = \frac{1}{y^{\sigma}} \sum_{a \leq y} \chi(a) - \frac{1}{x^{\sigma}} \sum_{a \leq x} \chi(a) + \sigma \int_x^y \frac{1}{\xi^{\sigma+1}} \sum_{a \leq \xi} \chi (a) d \xi \]
\[ \stackrel{(3)}{\ll} \frac{1}{y^{\sigma}} + \frac{1}{x^{\sigma}} \]

Utilizzando questo bound possiamo dunque stimare
\[ \sum_{b \leq \sqrt{x}} \frac{1}{b^{1/2}} \sum_{\sqrt{x} < a \leq x/b} \frac{\chi(a)}{a^{1/2}} \ll \sum_{b \leq \sqrt{x}} \frac{1}{b^{1/2}} \left( \sqrt{ \frac{b}{x} } + \frac{1}{x^{1/4}} \right) \stackrel{(4)}{\ll} 1 \]
per stimare l'altro termine utlizziamo la formula di Eulero-MacLaurin
\[ \sum_{b \leq x/a} \frac{1}{b^{1/2}} 2 \sqrt{ \frac{x}{a} } + C + O(\sqrt{ \frac{a}{x} } ) \]
e dunque
\[ \sum_{a \leq \sqrt{x}} \frac{\chi(a)}{a^{1/2}} \sum_{b \leq x/a} \frac{1}{b^{1/2}} = 2 \sqrt{x} \sum_{a \leq \sqrt{x}} \frac{\chi(a)}{a} + C \sum_{a \leq \sqrt{x}} \frac{\chi(a)}{a^{1/2}} + O \left(\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{a \leq \sqrt{x}} 1 \right) \]
\[ \stackrel{(5)}{=} 2 \sqrt{x} \sum_{a \leq \sqrt{x}} \frac{\chi(a)}{a} + O(1) \]
E la somma in \(a\) che resta è convergente e può essere stimata come segue
\[ \sum_{a \leq \sqrt{x}} \frac{\chi(a)}{a} \stackrel{(6)}{=} L(1,\chi ) - \sum_{a \leq \sqrt{x}} \frac{\chi(a)}{a} \stackrel{(7)}{=} L(1,\chi) + O\left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \]
dunque otteniamo che
\[ \sum_{n \leq x} \frac{\sigma_{\chi}(n)}{n^{1/2}} \stackrel{(8)}{=} 2L(1,\chi) + O(1) \]

Step 5:
\[ \sum_{n \leq x} \frac{\sigma_{\chi}(n)}{n^{1/2}} \gg \log x \]

- Non capisco i valori di \( \sigma_{\chi} \) come li calcola?

Se \( p \) è un numero primo tale che divide \(q\) allora abbiamo che \( \sigma_{\chi}(p^{\ell}) =1 \) altrimenti abbiamo che se \(p \) non divide \(q\)
\[ \sigma_{\chi}(p^{\ell}) = \left\{\begin{matrix}
\ell +1 & \text{se} & \chi(1)=1 \\
1& \text{se } \chi(1)=-1 & \text{e se } \ell \text{ è pari} \\
0& \text{se } \chi(1)=-1 & \text{e se } \ell \text{ è dispari}
\end{matrix}\right. \]
in particolare \( \sigma_{\chi}(p^{\ell}) \geq 1 \) per ogni \( \ell \) pari, e abbiamo che
\[ \sum_{n \leq x} \frac{\sigma_{\chi}(n)}{n^{1/2}} \geq \sum_{\substack{n \leq x\\ n \text{ un quadrato}}} \frac{1}{n^{1/2}} \geq \sum_{n \leq \sqrt{x}} \frac{1}{n} \gg \log x \]

e questo dimostra che \( L(1,\chi) > 0 \).

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Mentre scrivevo questo messaggio mi sono venute delle idee per rispondere alle domande (1) e (4) di step 4

Per (1) di step 4 forse considera che ponendo \( f(n) = n^{1/2} \) allora dice che \( \sigma_{\chi} = f \ast \chi \) dove \( \ast \) è la convoluzione di Dirichlet. Dunque dice
\[ \sigma_{\chi} = \sum_{ d \mid n} f(n) \chi(n/d) = \sum_{d \mid n} f(n) \chi(d) \]
e pertanto
\[ \sum_{ n \leq \sqrt{x} } \sigma_{\chi}(n) = \sum_{ ab \leq \sqrt{x} } \frac{\chi(a)}{(ab)^{1/2} } \]

mentre per (4) forse è facile
\[ \sum_{ b \leq \sqrt{x} } \frac{1}{b^{1/2}} \left( \sqrt{ \frac{b}{x}} + \frac{1}{x^{1/4}} \right) = \sum_{ b \leq \sqrt{x} } \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1/4} b^{1/2}} \leq \sum_{ b \leq \sqrt{x} } \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3/4}} \]
\[ \leq \sqrt{x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3/4}} \right) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{1/4}} \ll 1\]

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Per step 1 domanda (1) credo così funzioni

\[ \sum_{ \chi \mod q} \sum_{p} \log L(s,\chi) = \sum_{ \chi \mod q} \sum_{p} -\log \left( 1 - \frac{\chi(p)}{p^s} \right) \stackrel{Taylor}{=} \sum_{ \chi \mod q} \sum_{p} \sum_{\ell \geq 1} \frac{\chi(p^{\ell})}{\ell p^{\ell s}} \]

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Per step 3

Dovrebbe valere per prolungamento meromorfo della \(L\)-funzione anche su \( \operatorname{Re}(s) > 0 \).

Per step 4 domanda (2)

Abbiamo il seguente teorema:
Se \( a,b \) sono positivi reali tali che \(ab=x\) allora
\[ \sum_{\substack{q,d \\ qd \leq x}} f(d) g(q) = \sum_{n \leq y} f(n) G(x/n) + \sum_{n \leq z} g(n) F(x/n) - F(y)G(z) \]
dove
\[ F(x) = \sum_{n \leq x } f(n) \]
e
\[ G(x) = \sum_{n \leq x} g(n) \]

Ora ponendo \( f(n) = \frac{ \chi(n)}{\sqrt{n}} \) e \( g(n) = \frac{1}{\sqrt{n} } \) e ponendo \( y=z=\sqrt{x} \) abbiamo che
\[ \sum_{ab \leq x} f(a) g(b) = \sum_{a \leq \sqrt{x}} f(a) \sum_{b \leq x/a} g(b) + \sum_{b \leq \sqrt{x}} g(b) \sum_{a \leq x/b} f(a) - \sum_{a \leq \sqrt{x} } f(a) \sum_{b \leq \sqrt{x}} g(b) \]
\[ = \sum_{a \leq \sqrt{x}} f(a) \sum_{b \leq x/a} g(b) + \sum_{b \leq \sqrt{x}} g(b) \sum_{\sqrt{x} < a \leq x/b} f(a) \]