Isomorfismo del complessificato dello spazio tangente
Sia \(X\) una superficie di Riemann e \( p \in X \). Usando coordinate locali \(z=x+iy \) attorno a \(p \), otteniamo una base dello spazio tangente e dello spazio cotangente in \(p \): \(T_p X \simeq \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial x} \oplus \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \) e \( T_p^{\ast} X = \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{R}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus \mathbb{R} \cdot dy \) rispettivamente. Dove \( (dx,dy ) \) è la base duale a \( ( \partial/\partial x, \partial /\partial y) \).
Una carta complessa di \(X\) conferisce a \( T_p X \) una struttura di \( \mathbb{C} \)-vettoriale tale che \(i \frac{ \partial}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial y} \) e \( i \frac{ \partial}{\partial y} = - \frac{\partial }{\partial x} \).
Sia \( (T_pX)_{\mathbb{C} } := \mathbb{C} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \oplus \mathbb{C} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \) il complessificato dello spazio tangente \( T_pX\) e si \( (T_p^{\ast}X)_{\mathbb{C} } := \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}( T_pX , \mathbb{C} ) \).
Dimostra che \( (T_p^{\ast}X)_{\mathbb{C}} \) è isomorfo in modo naturale a \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}( (T_pX)_{\mathbb{C}} , \mathbb{C} ) \)
Le soluzioni mi dicono di considerare l'isomorfismo
\[ F : ( T_p^{\ast} X)_{\mathbb{C}} \to \mathbb{C}^2 \]
\[ \phi \mapsto \left( \phi \left( \frac{\partial}{\partial x} \right), \phi \left( \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \]
e
\[ G : \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}( (T_pX)_{\mathbb{C}} , \mathbb{C} ) \to \mathbb{C}^2 \]
\[ \psi \mapsto \left( \psi \left( \frac{\partial}{\partial x} \right), \psi \left( \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \]
ma secondo me \(F\) non è un isomorfismo... direi che un omomorfismo tra \( ( T_p^{\ast} X)_{\mathbb{C}} \) e \( \mathbb{R}^2 \) quindi probabilmente sto facendo confusione su qualche cosa.
Se sbaglio qualche cosa penso che l'errore si nasconde qui:
Infatti dato \( \phi \in (T_p^{\ast}X)_{\mathbb{C} } \), i.e. \( \phi : T_p X \to \mathbb{C} \) tale che è \( \mathbb{R}\)-lineare, inoltre per \( \mathbb{R}\)-linearità e poiché \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{R}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus \mathbb{R} \cdot dy \) credo che \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}( T_pX , \mathbb{C} )= \mathbb{R} \cdot dx \oplus i \mathbb{R} \cdot dy \) e dunque abbiamo \( \phi = a_{\phi} \cdot dx + i b_{\phi} \cdot dy \) per \( a=a_{\phi},b=b_{\phi} \in \mathbb{R} \) fissati una volta fissato \( \phi \).
Abbiamo dunque che per ogni \( t \in T_p X \) risulta che \(t = t_1 \frac{\partial}{\partial x} + t_2 \frac{\partial }{\partial y} \) per qualche \( t_1,t_2 \in \mathbb{R} \), siccome \(T_p X \simeq \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial x} \oplus \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \).
Dunque risulta che per ogni \( z \in \mathbb{C} \) abbiamo che possiamo trovare \(t_1,t_2 \in \mathbb{R} \) tale che \( at_1 = \Re(z) \) e \( bt_2 = \Im(z) \) inoltre abbiamo che
\[ \phi(t) = (a \cdot dx + i b \cdot dy) \left( t_1 \frac{\partial}{\partial x} + t_2 \frac{\partial }{\partial y} \right)
= at_1 dx \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) +i bt_2 dy\left( \frac{\partial}{\partial y} \right)
= \Re(z) + \Im(z) i = z
\]
È suriettivo ed iniettivo quindi \( \phi \) è un isomorfismo tra \( T_pX \) e \(\mathbb{C} \).
Dunque direi che
\[ \phi \mapsto \left( \phi \left( \frac{\partial}{\partial x} \right), \phi \left( \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \]
mappa
\[ dx \mapsto (1,0 ) \]
e
\[ i dy \mapsto (0,i) \]
ma siccome i coefficienti di \( \phi \) sono in \( \mathbb{R} \) questa non è una base di \( \mathbb{C}^2 \), ottengo piuttosto una \( \mathbb{R} \)-base di \( \mathbb{C}\). Io direi che l'isomorfismo dev'essere definito in altro modo.
Una carta complessa di \(X\) conferisce a \( T_p X \) una struttura di \( \mathbb{C} \)-vettoriale tale che \(i \frac{ \partial}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial y} \) e \( i \frac{ \partial}{\partial y} = - \frac{\partial }{\partial x} \).
Sia \( (T_pX)_{\mathbb{C} } := \mathbb{C} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \oplus \mathbb{C} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \) il complessificato dello spazio tangente \( T_pX\) e si \( (T_p^{\ast}X)_{\mathbb{C} } := \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}( T_pX , \mathbb{C} ) \).
Dimostra che \( (T_p^{\ast}X)_{\mathbb{C}} \) è isomorfo in modo naturale a \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}( (T_pX)_{\mathbb{C}} , \mathbb{C} ) \)
Le soluzioni mi dicono di considerare l'isomorfismo
\[ F : ( T_p^{\ast} X)_{\mathbb{C}} \to \mathbb{C}^2 \]
\[ \phi \mapsto \left( \phi \left( \frac{\partial}{\partial x} \right), \phi \left( \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \]
e
\[ G : \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}( (T_pX)_{\mathbb{C}} , \mathbb{C} ) \to \mathbb{C}^2 \]
\[ \psi \mapsto \left( \psi \left( \frac{\partial}{\partial x} \right), \psi \left( \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \]
ma secondo me \(F\) non è un isomorfismo... direi che un omomorfismo tra \( ( T_p^{\ast} X)_{\mathbb{C}} \) e \( \mathbb{R}^2 \) quindi probabilmente sto facendo confusione su qualche cosa.
Se sbaglio qualche cosa penso che l'errore si nasconde qui:
Infatti dato \( \phi \in (T_p^{\ast}X)_{\mathbb{C} } \), i.e. \( \phi : T_p X \to \mathbb{C} \) tale che è \( \mathbb{R}\)-lineare, inoltre per \( \mathbb{R}\)-linearità e poiché \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{R}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus \mathbb{R} \cdot dy \) credo che \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}( T_pX , \mathbb{C} )= \mathbb{R} \cdot dx \oplus i \mathbb{R} \cdot dy \) e dunque abbiamo \( \phi = a_{\phi} \cdot dx + i b_{\phi} \cdot dy \) per \( a=a_{\phi},b=b_{\phi} \in \mathbb{R} \) fissati una volta fissato \( \phi \).
Abbiamo dunque che per ogni \( t \in T_p X \) risulta che \(t = t_1 \frac{\partial}{\partial x} + t_2 \frac{\partial }{\partial y} \) per qualche \( t_1,t_2 \in \mathbb{R} \), siccome \(T_p X \simeq \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial x} \oplus \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \).
Dunque risulta che per ogni \( z \in \mathbb{C} \) abbiamo che possiamo trovare \(t_1,t_2 \in \mathbb{R} \) tale che \( at_1 = \Re(z) \) e \( bt_2 = \Im(z) \) inoltre abbiamo che
\[ \phi(t) = (a \cdot dx + i b \cdot dy) \left( t_1 \frac{\partial}{\partial x} + t_2 \frac{\partial }{\partial y} \right)
= at_1 dx \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) +i bt_2 dy\left( \frac{\partial}{\partial y} \right)
= \Re(z) + \Im(z) i = z
\]
È suriettivo ed iniettivo quindi \( \phi \) è un isomorfismo tra \( T_pX \) e \(\mathbb{C} \).
Dunque direi che
\[ \phi \mapsto \left( \phi \left( \frac{\partial}{\partial x} \right), \phi \left( \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \]
mappa
\[ dx \mapsto (1,0 ) \]
e
\[ i dy \mapsto (0,i) \]
ma siccome i coefficienti di \( \phi \) sono in \( \mathbb{R} \) questa non è una base di \( \mathbb{C}^2 \), ottengo piuttosto una \( \mathbb{R} \)-base di \( \mathbb{C}\). Io direi che l'isomorfismo dev'essere definito in altro modo.
Risposte
Mmmh credo proprio che il mio errore sia dire
\[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{C}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus i \mathbb{R} \cdot dy \]
infatti dovremmo avere
\[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{C}) = \mathbb{C} \cdot dx \oplus \mathbb{C} \cdot dy \]
altrimenti non avrebbe senso la dimensione
\[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{C}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus i \mathbb{R} \cdot dy \]
infatti dovremmo avere
\[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{C}) = \mathbb{C} \cdot dx \oplus \mathbb{C} \cdot dy \]
altrimenti non avrebbe senso la dimensione
Ricordati che devi anche dimostrare che è naturale; la mia proposta è argomentare con l'isomorfismo (naturale!) \(\hom(V,W)\otimes U\cong \hom(V,W\otimes U)\) (la tua SdR ha dimensione finita, spero!) e andare a casa in un minuto netto.
Non ho capito se stavi sbeffeggiando chi ha scritto "naturale" 
Comunque non so se ha dimensione finita, quello è quello che c'era scritto nel testo del esercizio.
Comunque non so se ha dimensione finita, quello è quello che c'era scritto nel testo del esercizio.
Ma no, perché? E' effettivamente un isomorfismo naturale. "Naturale" significa una cosa precisa, non è una parola messa a caso: l'isomorfismo \(V\to V^*\) non è naturale, l'isomorfismo \(V^{**}\to V\) sì.
E che vuol dire naturale?
Ma vuol dire che è la componente di una trasformazione naturale, no? Tutto a fare il fico co' ste domande di analisi e gruppi amenabili e random walk e teoria dei numeri e cose varie che fai tutto il tempo, e poi mi cadi [strike]sull'uccello[/strike] su una definizione elementare!?
Vuol dire che gli argomenti dell'isomorfismo \(\hom(T_pX,\mathbb C)\cong (T_p^*X)_\mathbb C\) si possono "\(\lambda\)-astrarre" a un isomorfismo \(\hom(T_p\_,\mathbb C)\cong (T_p^*\_)_\mathbb C\) tra i funtori così determinati.
Mi sembra abbastanza standard che "superficie di Riemann" sia una varietà di dimensione finita, sicché l'isomorfismo che stai cercando è una conseguenza immediata del più generale isomorfismo \(\hom(V,W)\otimes U\cong \hom(V,W\otimes U)\) valido per ogni terna di spazi \(V,W,U\) e naturale in ciascuna delle tre componenti; quest'ultimo è valido in forza del fatto che la catena di identificazioni
\[\hom(V,W)\otimes U\cong (V^*\otimes W)\otimes U\cong V^*\otimes(W\times U)\cong \hom(V,W\otimes U)\] è naturale in ciascuno degli argomenti.
Vuol dire che gli argomenti dell'isomorfismo \(\hom(T_pX,\mathbb C)\cong (T_p^*X)_\mathbb C\) si possono "\(\lambda\)-astrarre" a un isomorfismo \(\hom(T_p\_,\mathbb C)\cong (T_p^*\_)_\mathbb C\) tra i funtori così determinati.
Mi sembra abbastanza standard che "superficie di Riemann" sia una varietà di dimensione finita, sicché l'isomorfismo che stai cercando è una conseguenza immediata del più generale isomorfismo \(\hom(V,W)\otimes U\cong \hom(V,W\otimes U)\) valido per ogni terna di spazi \(V,W,U\) e naturale in ciascuna delle tre componenti; quest'ultimo è valido in forza del fatto che la catena di identificazioni
\[\hom(V,W)\otimes U\cong (V^*\otimes W)\otimes U\cong V^*\otimes(W\times U)\cong \hom(V,W\otimes U)\] è naturale in ciascuno degli argomenti.
"megas_archon":
Ma vuol dire che è la componente di una trasformazione naturale, no? Tutto a fare il fico co' ste domande di analisi e gruppi amenabili e random walk e teoria dei numeri e cose varie che fai tutto il tempo, e poi mi cadi [strike]sull'uccello[/strike] su una definizione elementare!?
Ma calmati un attimo eh! Se non so una cosa la chiedo e penso sia così che si impara, non trovi? Poi uno studio più certe cose di altre e non mi sembra una cosa così assurda! E se non mi sono mai posto la domanda di cosa significa "naturale" semplicemente non me la sono mai posta.
Grazie della spiegazione.
Ma calmati un attimo eh!A tenermi vivace sono solo tre cose: la caffeina, la rabbia, lo sdegno.
[ot]
Un tempo avrei simpatizzato. Ma poi mi sono accorto che tutte e tre queste cose fanno male, in grosse dosi. E così le ho ridotte tutte. Il me stesso di ieri penserebbe del me stesso di oggi che è un pusillanime, ma sicuramente sono più felice.
Inoltre, il cadere sull'uccello va spiegato perché secondo me 3m0o potrebbe non sapere che cosa significa. È una citazione di Mike Bongiorno. Mi ha anche fatto ridere, devo dire.[/ot]
"megas_archon":Ma calmati un attimo eh!A tenermi vivace sono solo tre cose: la caffeina, la rabbia, lo sdegno.
Un tempo avrei simpatizzato. Ma poi mi sono accorto che tutte e tre queste cose fanno male, in grosse dosi. E così le ho ridotte tutte. Il me stesso di ieri penserebbe del me stesso di oggi che è un pusillanime, ma sicuramente sono più felice.
Inoltre, il cadere sull'uccello va spiegato perché secondo me 3m0o potrebbe non sapere che cosa significa. È una citazione di Mike Bongiorno. Mi ha anche fatto ridere, devo dire.[/ot]
[ot]E' vero, ma stranamente non lo trovo su youtube tra le reliquie della televisione di un tempo! Però eccovi un Vasco Rossi che smascella davanti a Mike https://www.youtube.com/watch?v=0fFYpzDGdsQ[/ot]
Se ho frainteso i toni del messaggio di megas_archon allora mi scuso per aver reagito stizzito
No no, ero proprio incazzato, ma il fatto è che poi mi passa. Torna a settembre quando hai studiato un po' di trasformazioni naturali!
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