Ipotesi teorema di trasformazione di Fourier di derivate
Ciao, ho un dubbio.
Guardando sui miei appunti di analisi complessa, mi trovo il teorema di trasformazione di Fourier di una derivata:
Sia $f\in L^1(\mathbb{R})$, tale che esistano (q.o.) le sue derivate fino alla n-esima, tutte in $L^1(\mathbb{R})$. Allora $F(f^((n))(x))(\xi)=(2i\pi)^n \xi^n F(f(x))(\xi)$ (con F denoto la trasformazione di Fourier).
Ora leggo sui suddetti che queste ipotesi in realtà non sono sufficienti. Infatti per dimostrarlo utilizza (lavorando per esempio per n=1) l'integrazione per parti (che vale comunque per funzioni $C^1$ o al massimo regolari a tratti, se non sbaglio). Inoltre per annullare il termine che esce integrando per parti suppone di poter scrivere $\lim_{x\to \+infty}f(x)=f(0)+\int_{(0,+\infty)}f'(x)dx $ (e qui mi parla di funzioni assolutamente continue, che non conosco).
Gli appunti non sono troppo chiari, qualcuno ha un'idea di quali ipotesi precise si debbano mettere e perché?
Guardando sui miei appunti di analisi complessa, mi trovo il teorema di trasformazione di Fourier di una derivata:
Sia $f\in L^1(\mathbb{R})$, tale che esistano (q.o.) le sue derivate fino alla n-esima, tutte in $L^1(\mathbb{R})$. Allora $F(f^((n))(x))(\xi)=(2i\pi)^n \xi^n F(f(x))(\xi)$ (con F denoto la trasformazione di Fourier).
Ora leggo sui suddetti che queste ipotesi in realtà non sono sufficienti. Infatti per dimostrarlo utilizza (lavorando per esempio per n=1) l'integrazione per parti (che vale comunque per funzioni $C^1$ o al massimo regolari a tratti, se non sbaglio). Inoltre per annullare il termine che esce integrando per parti suppone di poter scrivere $\lim_{x\to \+infty}f(x)=f(0)+\int_{(0,+\infty)}f'(x)dx $ (e qui mi parla di funzioni assolutamente continue, che non conosco).
Gli appunti non sono troppo chiari, qualcuno ha un'idea di quali ipotesi precise si debbano mettere e perché?
Risposte
Si può prendere per definizione che una funzione è assolutamente continua se e solo se la formula fondamentale del calcolo integrale, che hai scritto, vale. In realtà tu la hai scritta un po' male, la aggiusto:
\[
f(x)=f(0)+\int_0^x f'(y)\, dy.\]
Questa è l'ipotesi minima per poter parlare di integrazione per parti, che è esattamente ciò di cui hai bisogno per la tua formula con la trasformata di Fourier. Tutte le funzioni derivabili che incontri nella pratica sono assolutamente continue.
\[
f(x)=f(0)+\int_0^x f'(y)\, dy.\]
Questa è l'ipotesi minima per poter parlare di integrazione per parti, che è esattamente ciò di cui hai bisogno per la tua formula con la trasformata di Fourier. Tutte le funzioni derivabili che incontri nella pratica sono assolutamente continue.
Ok, grazie mille.
La formula che ho scritto l'ho presa dagli appunti ma dovrebbe valere comunque perché in ogni caso $f' \in \L^1$, giusto?
La formula che ho scritto l'ho presa dagli appunti ma dovrebbe valere comunque perché in ogni caso $f' \in \L^1$, giusto?
Non solo, quello non è sufficiente.
Che altre ipotesi ci vogliono per farla valere?
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