Integrazione di Lebesgue di funzioni caratteristiche

[mklplo751]

Salve,se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe spiegarmi come integrare secondo Lebesgue una funzione del tipo:
\( f(x)=g(x) \) se $x in A$(dove $A$ è un sottoinsieme misurabile di $R$),altrimenti \( f(x)=h(x) \) ?

[Raptorista1]

Con l'additività rispetto al dominio di integrazione, ovviamente.

[mklplo751]

Ti ringrazio per la risposta ,ma scusami, non ho capito,dal punto di vista pratico come andrebbe fatto.

[Raptorista1]

Se non hai capito, devi fare un [gran bel] passo indietro nello studio.

[mklplo751]

Quel che ho capito,anche se dubito che sia giusto,è che dovrei fare:
\( \mu(A)\int_Ag(x)dx+\mu(R-A)\int_{R-A}h(x)dx \)

[Raptorista1]

Da dove arrivano quelle misure nella tua formula? A parte quelle, è corretto.

[mklplo751]

Quelle misure,pensavo che servissero perché questo integrale è definito come
\( \int_Xfd\mu=\sum_{i=1}^r \mu(A_i)f(A_i) \)
e quindi credevo che comparissero anche le misure quando andavo a fare il calcolo integrale,cioè che
\( \int_Xfd\mu=\mu(A)\int_Xf(x)dx \)
secondo te cos'è che ho sbagliato nell'interpretare la definizione?