Integrali complessi

[livrea]

ciao a tutti sto iniziando a fare gli integrali in analisi complessa, dato che non ho seguito le lezioni ho un pò di confusione, il mio problema é che non so come approcciarmi all'esercizio. Mi sarebbe utile qualche indicazione sui passaggi da fare per calcolare questi benedetti integrali.
Per esempio $int_(−∞)^(+∞) (sen(2x))/(x(x^2-x+1) $
ho capito che la prima cosa da fare è calcolare la sommabilità, poi come procedo?

[gugo82]

Beh, poi devi cercarti una funzione complessa ausiliaria che ti consenta di trasferire il calcolo dalla retta reale al piano complesso; infine, usi i teoremi dei residui, i lemmi di Jordan e ottieni ciò che serve con un po' di manipolazione algebrica.

Nel caso in esame, puoi osservare che $sin 2x = "Im" (e^(2i x))$, quindi il tuo integrale si riscrive:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\operatorname{Im} (e^{2i x})}{x(x^2 - x + 1)}\ \text{d} x = \operatorname{Im} \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{2i x}}{x(x^2 - x + 1)}\ \text{d} x\right)
\]
e il secondo intergale è l'integrale a valore principale esteso all'asse reale della funzione complessa $f(z) = (e^(2i z))/(z(z^2 - z + 1))$.
La scelta del giusto contorno di integrazione per il calcolo dell'integrale è spiegata su ogni testo decente di Analisi Complessa (non di Metodi Matematici, purtroppo...).