Integrale tramite residui
Salve a tutti, non riesco a capire come calcolare il valore di questo integrale lungo $gamma(t)=3e^(it)$ con $tin[0,2pi)$ $int(coshz +e^(piz)/(z+i)^11)dz$
Le risposte sono:
a)$-(pi^11i)/(19958400)$
b)$(pi^11i)/(19958400)$
c)$(pi^11i)/(1814400)$
d)$-(pi^11i)/(1814400)$
La risposta corretta è la d
Ho provato a sviluppare il $cosh$ e l'esponenziale in serie di Laurent in $z=-i$ ma arrivo ad avere una somma di due serie che non mi porta da nessuna parte, anche perchè non sono riuscito a svilupparle centrate in $z=-i$. Ho pensato anche di calcolare il valore tramite il limite ma dovrei fare una derivata decima il che lo rende impossibile.
Come si può calcolare?
Grazie e buona giornata.
Le risposte sono:
a)$-(pi^11i)/(19958400)$
b)$(pi^11i)/(19958400)$
c)$(pi^11i)/(1814400)$
d)$-(pi^11i)/(1814400)$
La risposta corretta è la d
Ho provato a sviluppare il $cosh$ e l'esponenziale in serie di Laurent in $z=-i$ ma arrivo ad avere una somma di due serie che non mi porta da nessuna parte, anche perchè non sono riuscito a svilupparle centrate in $z=-i$. Ho pensato anche di calcolare il valore tramite il limite ma dovrei fare una derivata decima il che lo rende impossibile.
Come si può calcolare?
Grazie e buona giornata.
Risposte
Che esercizio strano! Che numeracci. Ma non è un male, bisogna imparare pure a fare conti con questi numeri qui.
Comunque, è molto più facile di quanto non sembri. Intanto il coseno iperbolico è completamente ininfluente (perché?).
Comunque, è molto più facile di quanto non sembri. Intanto il coseno iperbolico è completamente ininfluente (perché?).
"dissonance":
Che esercizio strano! Che numeracci. Ma non è un male, bisogna imparare pure a fare conti con questi numeri qui.
Comunque, è molto più facile di quanto non sembri. Intanto il coseno iperbolico è completamente ininfluente (perché?).
Eh sì, è preso da un esame dell'anno scorso del corso di analisi 2 che sto preparando.
È ininfluente perché non ha punti singolari quindi il suo integrale vale 0?
"emi_334":
È ininfluente perché non ha punti singolari quindi il suo integrale vale 0?
Esatto. Forza, su queste cose non puoi avere dubbi.
Quello che mi mette in difficoltà è sviluppare $e^(piz)$ in serie centrata in $z=-1$. Non so come gestire il $pi$, ho pensato di scriverla come $(e^(z+i-i))^pi$ ma poi mi fermo qui perchè mi verrebbe la serie dello sviluppo elevata a $pi$.
Cosa sbaglio?
Cosa sbaglio?
Hai pensato bene-continua. Scrivi \(e^{\pi(z+i)}e^{-\pi i}\). Dai, su. Non avere paura di sporcarti le mani.
Ok a questo punto sviluppo in serie $e^(pi(z+i))$ e semplificando con $1/(z+i)$ ottengo $\sum (pi^n(z+1)^(n-1))/(n!)$
Mi rimane da gestire $e^(-pii)$. Se lo sviluppo in serie ottengo $\sum (-pii)^n/(n!)$ che però non mi aiuta. Ho pensato di lasciarlo moltiplicato alla serie ma quando trovo il coefficiente $c_-1$ mi viene $1/(z+i)$ moltiplicato per $1/e^(pii)$ che non è nessuna delle soluzioni.
Mi rimane da gestire $e^(-pii)$. Se lo sviluppo in serie ottengo $\sum (-pii)^n/(n!)$ che però non mi aiuta. Ho pensato di lasciarlo moltiplicato alla serie ma quando trovo il coefficiente $c_-1$ mi viene $1/(z+i)$ moltiplicato per $1/e^(pii)$ che non è nessuna delle soluzioni.
Ciao emi_334,
Ehm...
$ e^{- \pi i} = - 1 $
"emi_334":
Mi rimane da gestire $e^{- \pi i} $.
Ehm...
$ e^{- \pi i} = - 1 $
Giusto. Ma anche così mi rimane $-1/(z+i)$ che non mi porta a nessuna delle soluzioni. 
Il coefficiente $c_{-1}$ della serie di Laurent di $-\frac{e^{pi(z+i)}}{(z+i)^11}$ centrata in $z_0=-i$ è appunto il coefficiente della potenza di $z+i$ avente esponente $-1$ di tale serie, perciò è solo il numero complesso che moltiplica $\frac{1}{z+1}$ presente nello sviluppo in serie. Anche perché, dato che per il teorema dei residui tale coefficiente moltiplicato per $2 \pi i$ coincide col valore dell'integrale, il tuo risultato non può dipendere da $z$ visto che stai integrando nella variabile $z$ (perciò il risultato non potrà mai dipendere da $z$).
Un suggerimento per futuri esercizi: in questi casi, in cui la tua funzione dipende esclusivamente ad $z+i$, ti conviene porre $w=z+i$ in modo tale che tale centro sia invece in $w_0=0$.
Edit: mi ero perso un $2\pi i$.
Un suggerimento per futuri esercizi: in questi casi, in cui la tua funzione dipende esclusivamente ad $z+i$, ti conviene porre $w=z+i$ in modo tale che tale centro sia invece in $w_0=0$.
Edit: mi ero perso un $2\pi i$.
Scusate, ma non conviene applicare direttamente la derivata $n$-esima della formula integrale di Cauchy?
Si ha:
$ \int_{\gamma} (f(z))/(z - a)^{n + 1} \text{d}z = [2 \pi i f^{(n)}(a)]/(n!) $
Nel caso in esame si ha:
$a = - i $
$n + 1 = 11 \implies n = 10 \implies n! = 3628800 $
$ f(z) = - e^(\pi(z + i)) \implies f^{(n)}(z) = - \pi^10 e^(\pi(z + i)) \implies f^{(n)}(a) = f^{(n)}(- i) = - \pi^10 $
Pertanto si ha:
$ \int_{\gamma} (- e^(\pi(z + i)))/(z + i)^11 \text{d}z = [2 \pi i (- \pi^10)]/3628800 = - (\pi^11 i)/1814400 $
Quindi in effetti la risposta corretta è la d).
Si ha:
$ \int_{\gamma} (f(z))/(z - a)^{n + 1} \text{d}z = [2 \pi i f^{(n)}(a)]/(n!) $
Nel caso in esame si ha:
$a = - i $
$n + 1 = 11 \implies n = 10 \implies n! = 3628800 $
$ f(z) = - e^(\pi(z + i)) \implies f^{(n)}(z) = - \pi^10 e^(\pi(z + i)) \implies f^{(n)}(a) = f^{(n)}(- i) = - \pi^10 $
Pertanto si ha:
$ \int_{\gamma} (- e^(\pi(z + i)))/(z + i)^11 \text{d}z = [2 \pi i (- \pi^10)]/3628800 = - (\pi^11 i)/1814400 $
Quindi in effetti la risposta corretta è la d).
Sì, in questo caso sì, ma anche il metodo classico con la serie di Laurent mi sembra abbastanza sbrigativo in casi come questo. Non sempre poi si calcola agevolmente una derivata $n$-sima, anche se in questo caso si fa benissimo. 
È uguale, pilloeffe. In effetti in questo esercizio la cosa importante è rendersi conto che il coseno iperbolico non c'entra nulla e poi sapere sviluppare $e^{\pi z}$ attorno a $z=-i$. Poi come uno esattamente fa il conto del residuo è di importanza secondaria.
Grazie a tutti per l'aiuto. Ho capito la risposta di pilloeffe e credo che fosse il modo più semplice di farlo. Però non ho ancora capito come si sarebbe potuto fare con Laurent.
Anche applicando ciò che ha detto Mephilip il coefficiente mi verrebbe $-2pii$.
Anche applicando ciò che ha detto Mephilip il coefficiente mi verrebbe $-2pii$.
La serie di Laurent centrata in $z_0=-i$ di $g(z)=e^{\pi i} \frac{e^{\pi(z+i)}}{(z+i)^{11}}$ è la seguente:
$$e^{\pi i} \frac{1}{(z+i)^{11}} e^{\pi(z+i)}=-\frac{1}{(z+i)^{11}} \sum_{n=0}^\infty \frac{[\pi(z+i)]^n}{n!}$$
$$=-\frac{1}{(z+i)^{11}}\left[1+\pi(z+i)+\frac{1}{2!}\pi^2 (z+i)^2+\dots+ \frac{\pi^{10} (z+i)^{10}}{10!}+\dots\right]$$
$$=-\frac{1}{(z+i)^{11}}-\frac{\pi}{(z+i)^{10}}-\frac{\pi^2}{2!(z+i)^9}-\dots-\frac{\pi^{10}}{10!(z+i)}-\dots$$
Detto $c_{-1}$ il coefficiente del termine $(z+1)^{-1}=\frac{1}{z+1}$ di tale serie, dato che per il teorema dei residui il tuo integrale è uguale a $2\pi i c_{-1}$, a te interessa solo stabilire chi è $c_{-1}$. Dalla serie, deduci che il coefficiente di $\frac{1}{z+i}$ è:
$$c_{-1}=-\frac{\pi^{10}}{10!}$$
Dunque il tuo integrale è uguale a:
$$2\pi i c_{-1}=2\pi i \cdot \left(-\frac{\pi^{10}}{10!}\right)=-\frac{\pi^{11} i}{1814400}$$
$$e^{\pi i} \frac{1}{(z+i)^{11}} e^{\pi(z+i)}=-\frac{1}{(z+i)^{11}} \sum_{n=0}^\infty \frac{[\pi(z+i)]^n}{n!}$$
$$=-\frac{1}{(z+i)^{11}}\left[1+\pi(z+i)+\frac{1}{2!}\pi^2 (z+i)^2+\dots+ \frac{\pi^{10} (z+i)^{10}}{10!}+\dots\right]$$
$$=-\frac{1}{(z+i)^{11}}-\frac{\pi}{(z+i)^{10}}-\frac{\pi^2}{2!(z+i)^9}-\dots-\frac{\pi^{10}}{10!(z+i)}-\dots$$
Detto $c_{-1}$ il coefficiente del termine $(z+1)^{-1}=\frac{1}{z+1}$ di tale serie, dato che per il teorema dei residui il tuo integrale è uguale a $2\pi i c_{-1}$, a te interessa solo stabilire chi è $c_{-1}$. Dalla serie, deduci che il coefficiente di $\frac{1}{z+i}$ è:
$$c_{-1}=-\frac{\pi^{10}}{10!}$$
Dunque il tuo integrale è uguale a:
$$2\pi i c_{-1}=2\pi i \cdot \left(-\frac{\pi^{10}}{10!}\right)=-\frac{\pi^{11} i}{1814400}$$
Grazie mille ora mi è chiaro.
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