Integrale tra zero e infinito con delta di Dirac

[Archwing]

Ciao a tutti, ho difficoltà con il seguente integrale

$I=\int_{0}^{\infty}\delta(sen(\pix))*2^{-x}dx$

dove $\delta(b(x))$, con $b(x)=sen(\pix)$, è la delta di Dirac.

Vi riporto il procedimento seguito.

Data $b(x)=sen(\pix)=0 \Leftrightarrow x=x_{k}=k \in \mathbb{Z}$

La derivo una volta, ottenendo $(b(x))'=\picos(\pix)$

$|(b'(x_{k}))|=|\pi(-1)^k|=\pi$

$\delta(sen(\pix))={1}/{|(b'(x_{k}))|}\sum_{k \in \mathbb{Z}}\delta(x-x_{k})$

quindi l'integrale diventa

$\int_{0}^{\infty}{1}/{\pi}\sum_{k \in \mathbb{Z}}\delta(x-x_{k})2^{-x}dx$

Poi non capisco come continuare.

Il risultato finale del professore è $I={3}/{2\pi}$

Potete, per favore, aiutarmi ad arrivare al risultato?

[edoardo123451]

intanto esplicita quel $x_k$, usa la definizione di delta di dirac per risolvere gli n integrali, e otterrai una serie che evidentemente converge a 3/2

Edit: credo che quel risultato comunque sia sbagliato
Edit2: ok, quel risultato non è sbagliato. Inizialmente non avevo notato che il dominio va da 0 a infinito e qui il problema sta proprio nel come trattare quello zero. Allora conviene calcolare l'integrale da -infinito a +infinito, spezzarlo in tre parti: parte negativa, parte positiva e zero per ottenere $3/pi$.
A questo punto, essendo il tuo integrale di partenza la metà di quello che hai appena calcolato, concludere che l'integrale vale $\frac{3}{2pi}$

[Archwing]

Grazie per la risposta.