Integrale svolto con metodo dei Residui

[Mark251]

Salve forum,

ho svolto il seguente integrale con il metodo dei residui di cui ora vi mostrerò anche il procedimento e volevo chiedervi se l'ho svolto nella maniera giusta oppure ho commesso degli errori di ragionamento.

L'integrale è:

$ int_(-oo)^(+oo) (cos(3t))/((t-3j)(t^2+9)) dt $

secondo la formula di Eulero posso scrivere il seguente integrale come:

$ Re int_(-oo)^(+oo) (e^(3jz))/((z-3j)(z^2+9)) dz $

ed essendo impossibilitato a risolverlo tra + e - infinito posso per teoria risolverlo lungo la curva γ:

$ int_(γ) (e^(3jz))/((z-3j)(z^2+9)) dz $

in cui γ è il circuito sul segmento $[−R,R]$ dell'asse reale che può essere chiuso con una semicirconferenza di centro $0$ e raggio $R$.

Applicando il metodo dei residui trovo le seguenti singolarità:

$ z_0,_1 = 3j $
$ z_2 = -3j$

essendo $z_2$ al di fuori di γ non bisogna calcolarne il residuo, mentre $z = 3j$ è un polo di ordine 2:

$Res(f,3j) = 1/(6je^9)$

Infine il risultato dell'integrale è:
$ int_(γ) (e^(3jz))/((z-3j)(z^2+9)) dz = 2πj Res(f,3j) = 2πj (1/6je^9) = π/(3e^9) $

ed essendo presente solo la parte reale è proprio questo il mio risultato.

Mi scuso se sono presenti errori di calcolo e vi chiedo nuovamente se ho fatto errori di ragionamento.

[Mephlip]

Ciao, benvenuto sul forum!
Sbagli perché non è vero che $\frac{\cos(3t)}{(t-3i)(t^2+9)}=\mathfrak{R}\left(\frac{e^{3it}}{(t-3i)(t^2+9)}\right)$, hai il numero complesso $t-3i$ anche al denominatore.
Devi prima rendere il denominatore reale e poi ragionare come hai fatto tu considerando il coseno come la parte reale dell'esponenziale complesso, per il resto il tuo svolgimento mi sembra corretto per quanto riguarda l'applicazione del teorema dei residui (specificherei giusto che $R>3$ perché devi assicurarti che $z=3i$ appartenga all'insieme avente come frontiera la curva $\gamma$).
Prova a correggere quell'errore e vedere se ti tornano i conti.

[Mark251]

Ciao e grazie per la risposta,

ho riscritto l'integrale seguendo il tuo consiglio e mi trovo:

$int_(-oo)^(+oo) ((cos(3t)(t+3j))/((t^2+9)(t^2+9))) dt $

Dopo aver fatto le dovute premesse sulla parte reale e la curva di integrazione ho notato che le singolarità erano le stesse cioè:
$ z_1 = +3j$ di ordine 2
$z_3 = -3j$ di ordine 2

la singolarità uguale a -3j è da escludere perchè esterna alla curva, calcolando invece il residuo in $z_1$ trovo:

$Res(f,z_1) = 19/(18e^9)$

e che quindi l'integrale:

$int_(γ) ((e^(3jz)(z+3j))/((z^2+9)(z^2+9))) dz = 2πj 19/(18e^9) = (19π)/(18e^9)j$

Tuttavia dovendo considerare solo la parte reale del risultato, che in questo caso non è presente essendoci solo il termine j, vuol dire che l'integrale è uguale a 0??

[Mephlip]

Prego! C'è qualche errore, che credo sia dovuto al fatto che la funzione integranda così come è scritta non rispetta le ipotesi del lemma di Jordan. Per sicurezza aspetta pareri più esperti del mio su questo punto.
Quello di cui sono certo è invece che puoi procedere così: riscrivi
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(t+3i)\cos(3t)}{(t^2+9)^2} \text{d}t=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t \cos(3t)}{(t^2+9)^2} \text{d}t+3i \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(3t)}{(t^2+9)^2} \text{d}t=$$
$$=\lim_{L\to\infty} \int_{-L}^{L} \frac{t \cos(3t)}{(t^2+9)^2} \text{d}t+3i \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(3t)}{(t^2+9)^2} \text{d}t$$
E nota che il primo integrale è nullo, in quanto è l'integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico; il secondo integrale ora lo puoi veramente calcolare con il trucco della parte reale dell'esponenziale complesso (mi raccomando considera solo la parte reale dell'integrale, la costante $3i$ lasciala fuori) e dovrebbe venirti reale, nello specifico dovrebbe venirti $\frac{5\pi}{27e^{9}}$ e di conseguenza moltiplicandolo per $3i$ otterrai il risultato finale dell'integrale
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(3t)}{(t-3i)(t^2+9)} \text{d}t=\frac{5\pi}{9e^{9}}i$$
Fammi sapere se ti torna, se hai altri dubbi non esitare a chiedere!