Integrale reale con funzione polidroma
Salve a tutti!
Sono nuovo del forum, e, per quanto ci abbia provato, non riesco a venire a capo di questo integrale:
[tex]\int_0^{+\infty}{\frac{\sqrt[3]{x}}{(x^2+4)^2}dx}[/tex]
da risolvere con metodi di analisi complessa.
Dato che la radice terza è una funzione polidroma in campo complesso, ho scelto come sua determinazione:
[tex]\sqrt[3]{z}=(re^{i\theta})^{\frac{1}{3}}=r^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{\theta}{3}}\quad \text{con}\quad 0<\theta < 2\pi[/tex]
dopo aver considerato il piano complesso con un taglio coincidente con il semiasse reale positivo.
Ho quindi deciso di integrare la funzione complessa $f(z)=\frac{z^{\frac{1}{3}}}{(z^2+4)^2}$ lungo un cammino costituito da due segmenti (percorsi in senso opposto l'uno rispetto all'altro) $[\epsilon ; R]$ e le due circonferenze centrate nell'origine di raggio $\epsilon$ ed $R$ con $0<\epsilon<2
[tex]\int_{\gamma}{f(z)dz}=(1-e^{\frac{2}{3}\pi i})\int_{\epsilon}^R{\frac{\sqrt[3]{x}}{(x^2+4)^2}dx}[/tex]
mentre gli integrali sulle circonferenze non li ho scritti perché tendenti a $0$ per la disuguaglianza di Darboux.
Passando al limite per $\epsilon \rightarrow 0$ ed $R \rightarrow +\infty$ ed applicando il teorema dei residui:
[tex]\int_0^{+\infty}{\frac{\sqrt[3]{x}}{(x^2+4)^2}dx} = \frac{4\pi i}{3-i\sqrt{3}}[Res(f,2i)+Res(f,-2i)][/tex]
Passo quindi a calcolare i residui (che sono entrambi poli doppi).
Omettendo i conti, i risultati sono:
[tex]Res(f,2i) = \frac{\sqrt[3]{2}}{48}e^{-i\frac{\pi}{3}} \quad \text{e} \quad Res(f,-2i) = \frac{\sqrt[3]{2}}{48}e^{i\frac{\pi}{3}}[/tex]
Perdonate il wallpost, ma ecco il problema: se sostituisco i residui nell'equazione precedente ottengo un numero complesso, e non un numero reale (come dovrebbe essere, dato che l'integranda è reale)
Perciò mi rimetto al vostro aiuto per capire cosa io abbia sbagliato: per favore aiutatemi a capire
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà provare a risolvere l'integrale o quantomeno a suggerirmi dove potrei aver sbagliato
Se ne doveste aver bisogno posterò anche le parti che ho omesso di scrivere (come ad esempio i calcoli per trovare i residui o la parametrizzazione completa del cammino).
Se potessi allegherei anche il mio tentativo di risoluzione in qualche modo, fatemi sapere come posso aiutarvi ad aiutarmi ahah
Grazie
Sono nuovo del forum, e, per quanto ci abbia provato, non riesco a venire a capo di questo integrale:
[tex]\int_0^{+\infty}{\frac{\sqrt[3]{x}}{(x^2+4)^2}dx}[/tex]
da risolvere con metodi di analisi complessa.
Dato che la radice terza è una funzione polidroma in campo complesso, ho scelto come sua determinazione:
[tex]\sqrt[3]{z}=(re^{i\theta})^{\frac{1}{3}}=r^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{\theta}{3}}\quad \text{con}\quad 0<\theta < 2\pi[/tex]
dopo aver considerato il piano complesso con un taglio coincidente con il semiasse reale positivo.
Ho quindi deciso di integrare la funzione complessa $f(z)=\frac{z^{\frac{1}{3}}}{(z^2+4)^2}$ lungo un cammino costituito da due segmenti (percorsi in senso opposto l'uno rispetto all'altro) $[\epsilon ; R]$ e le due circonferenze centrate nell'origine di raggio $\epsilon$ ed $R$ con $0<\epsilon<2
[tex]\int_{\gamma}{f(z)dz}=(1-e^{\frac{2}{3}\pi i})\int_{\epsilon}^R{\frac{\sqrt[3]{x}}{(x^2+4)^2}dx}[/tex]
mentre gli integrali sulle circonferenze non li ho scritti perché tendenti a $0$ per la disuguaglianza di Darboux.
Passando al limite per $\epsilon \rightarrow 0$ ed $R \rightarrow +\infty$ ed applicando il teorema dei residui:
[tex]\int_0^{+\infty}{\frac{\sqrt[3]{x}}{(x^2+4)^2}dx} = \frac{4\pi i}{3-i\sqrt{3}}[Res(f,2i)+Res(f,-2i)][/tex]
Passo quindi a calcolare i residui (che sono entrambi poli doppi).
Omettendo i conti, i risultati sono:
[tex]Res(f,2i) = \frac{\sqrt[3]{2}}{48}e^{-i\frac{\pi}{3}} \quad \text{e} \quad Res(f,-2i) = \frac{\sqrt[3]{2}}{48}e^{i\frac{\pi}{3}}[/tex]
Perdonate il wallpost, ma ecco il problema: se sostituisco i residui nell'equazione precedente ottengo un numero complesso, e non un numero reale (come dovrebbe essere, dato che l'integranda è reale)
Perciò mi rimetto al vostro aiuto per capire cosa io abbia sbagliato: per favore aiutatemi a capire
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà provare a risolvere l'integrale o quantomeno a suggerirmi dove potrei aver sbagliato
Se ne doveste aver bisogno posterò anche le parti che ho omesso di scrivere (come ad esempio i calcoli per trovare i residui o la parametrizzazione completa del cammino).
Se potessi allegherei anche il mio tentativo di risoluzione in qualche modo, fatemi sapere come posso aiutarvi ad aiutarmi ahah
Grazie
Risposte
Ripensa attentamente a come va calcolato questo residuo e a come calcoli la radice cubica.
PS. anche quel coefficiente davanti non mi convince tanto...
\( \displaystyle \quad Res(f,-2i) = \frac{\sqrt[3]{2}}{48}e^{i\frac{\pi}{3}} \)
PS. anche quel coefficiente davanti non mi convince tanto...
\( \displaystyle \quad Res(f,-2i) = \frac{\sqrt[3]{2}}{48}e^{i\frac{\pi}{3}} \)
Grazie mille del suggerimento, Quinzio!
Oggi ho ricontrollato il calcolo di quel residuo ed è saltato fuori che avevo sbagliato proprio a calcolare una radice terza! Avevo sbagliato determinazione a quanto pare
Quindi ora [tex]Res(f, -2i) = -\frac{\sqrt[3]{2}}{48}[/tex] e l'integrale viene reale: [tex]I = \frac{\sqrt[3]{2}\pi}{24\sqrt{3}}[/tex]
Sembra tutto corretto ora, grazie
Oggi ho ricontrollato il calcolo di quel residuo ed è saltato fuori che avevo sbagliato proprio a calcolare una radice terza! Avevo sbagliato determinazione a quanto pare
Quindi ora [tex]Res(f, -2i) = -\frac{\sqrt[3]{2}}{48}[/tex] e l'integrale viene reale: [tex]I = \frac{\sqrt[3]{2}\pi}{24\sqrt{3}}[/tex]
Sembra tutto corretto ora, grazie
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