Integrale prodotto funzioni $L^p$
Sto provando a risolvere il seguente esercizio:
Siano $-\infty \leq a < b \leq +\infty$ e $1 \leq p \leq +\infty$ e sia $f \in L^p(a,b) \cap \L^{p'}(a,b)$, dove $p'$ è l'esponente coniugato di $p$ (ovvero $1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$)
Supponiamo che per ogni $\varphi \in C_c^\infty (a,b)$ si ha che
$$ \int_a^b f(x)\varphi(x) dx = 0. $$
Devo dimostrare che $f = 0$ quasi ovunque su $(a,b)$
Seguendo le indicazioni, ho mostrato che $f \in L^2(a,b)$, tramite la disuguaglianza di Holder:
\[ \lVert f^2 \rVert_{L^1} \leq \lVert f \rVert_{L^p} \cdot \lVert f \rVert_{L^{p'}} \implies \lVert f \rVert_{L^2} = \left( \lVert f^2 \rVert_{L^1} \right)^{1/2} < \infty \]
Ora si suggerisce di mostrare che $ \int fg = 0$ per ogni $g \in L^2(a,b)$
Ho provato a lavorare con una successione di funzioni ${g_n}_{n \in \mathbb{B}}$, $g_n \in C_0^\infty$ per ogni $n$, che converge puntualmente a $g$ (cosa che, se non sbaglio, dovrebbe essere permessa dalla densità di $C_0^\infty(a,b)$ in $L^2(a,b)$ ). Ma non riesco a trovare una strategia che mi permetta di "passare al limite" per poter concludere.
Qualcuno saprebbe darmi un indizio?
(Per finire poi basta osservare che $\int f^2 = 0$, quindi che $f^2 = 0$ quasi ovunque)
Siano $-\infty \leq a < b \leq +\infty$ e $1 \leq p \leq +\infty$ e sia $f \in L^p(a,b) \cap \L^{p'}(a,b)$, dove $p'$ è l'esponente coniugato di $p$ (ovvero $1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$)
Supponiamo che per ogni $\varphi \in C_c^\infty (a,b)$ si ha che
$$ \int_a^b f(x)\varphi(x) dx = 0. $$
Devo dimostrare che $f = 0$ quasi ovunque su $(a,b)$
Seguendo le indicazioni, ho mostrato che $f \in L^2(a,b)$, tramite la disuguaglianza di Holder:
\[ \lVert f^2 \rVert_{L^1} \leq \lVert f \rVert_{L^p} \cdot \lVert f \rVert_{L^{p'}} \implies \lVert f \rVert_{L^2} = \left( \lVert f^2 \rVert_{L^1} \right)^{1/2} < \infty \]
Ora si suggerisce di mostrare che $ \int fg = 0$ per ogni $g \in L^2(a,b)$
Ho provato a lavorare con una successione di funzioni ${g_n}_{n \in \mathbb{B}}$, $g_n \in C_0^\infty$ per ogni $n$, che converge puntualmente a $g$ (cosa che, se non sbaglio, dovrebbe essere permessa dalla densità di $C_0^\infty(a,b)$ in $L^2(a,b)$ ). Ma non riesco a trovare una strategia che mi permetta di "passare al limite" per poter concludere.
Qualcuno saprebbe darmi un indizio?
(Per finire poi basta osservare che $\int f^2 = 0$, quindi che $f^2 = 0$ quasi ovunque)
Risposte
Si, ok, l'inizio va bene. Ma perché convergenza puntuale? Non é meglio prendere una successione che converge a \(f\) nel senso di \(L^2(a, b)\)?
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