Integrale nel campo complesso
Rieccomi con un altro esercizio, probabilmente banale(Penso sia questa la sezione giusta 
)
Ho da risolvere questo integrale in campo complesso:
$\int_{\gamma}(\overline{z} - 1)dz$
Dove $\overline{z}$ è il coniugato di $z$ e $\gamma$ è la circonferenza con centro l'origine e raggio 2.
Io ho provato a risolverla così:
ho posto $\overline{z} = e^{-i\theta}$ e $dz = ie^{i\theta}d\theta$ quindi ho scritto:
$\int_{0}^{2\pi} (e^{-i\theta} - 1)ie^{i\theta}d\theta$
Poi ho svolto l'integrale. Non ho le soluzioni e non so se il procedimento possa essere giusto perchè ho molti dubbi su questi argomenti.
)Ho da risolvere questo integrale in campo complesso:
$\int_{\gamma}(\overline{z} - 1)dz$
Dove $\overline{z}$ è il coniugato di $z$ e $\gamma$ è la circonferenza con centro l'origine e raggio 2.
Io ho provato a risolverla così:
ho posto $\overline{z} = e^{-i\theta}$ e $dz = ie^{i\theta}d\theta$ quindi ho scritto:
$\int_{0}^{2\pi} (e^{-i\theta} - 1)ie^{i\theta}d\theta$
Poi ho svolto l'integrale. Non ho le soluzioni e non so se il procedimento possa essere giusto perchè ho molti dubbi su questi argomenti.
Risposte
Ciao! Il raggio della circonferenza è $2$, quindi la parametrizzazione di $\bar{z}$ è sbagliata; prova a correggerla e a scrivere i conti, così vediamo insieme lo svolgimento.
(In teoria la sezione corretta dovrebbe essere analisi superiore, tuttavia l'esercizio è abbastanza base e si può fare con conoscenze di numeri complessi ed integrali curvilinei; al massimo te lo spostano).
(In teoria la sezione corretta dovrebbe essere analisi superiore, tuttavia l'esercizio è abbastanza base e si può fare con conoscenze di numeri complessi ed integrali curvilinei; al massimo te lo spostano).
Hai ragione, mannaggia che sbaglio! Allora dovrebbe essere
$\overline{z} = 2e^{-i\theta}$ giusto? Quindi di conseguenza abbiamo anche che $dz = 2ie^{i\theta}$ O sto ancora sbagliando?
$\overline{z} = 2e^{-i\theta}$ giusto? Quindi di conseguenza abbiamo anche che $dz = 2ie^{i\theta}$ O sto ancora sbagliando?
Ora è corretta, adesso ti rimane da risolvere l'integrale e hai concluso.
Ok, allora dovrei avere $\int_{0}^{2\pi} (2e^{-i\theta}-1)2ie^{i\theta} d\theta =8i\pi$?
Inoltre volevo chiedere, se il ciruito non fosse partito dall'origine, quale cambiamento ci sarebbe stato?
Inoltre volevo chiedere, se il ciruito non fosse partito dall'origine, quale cambiamento ci sarebbe stato?
Il risultato è corretto, tuttavia non capisco l'altra domanda: la curva non parte dall'origine, bensì parte dal punto $(2,0)$ quando $\theta=0$.
Forse intendevi dire "se nella richiesta dell'esercizio la circonferenza non fosse centrata nell'origine"?
Forse intendevi dire "se nella richiesta dell'esercizio la circonferenza non fosse centrata nell'origine"?
Si, intendevo proprio quello , mi scuso per la mia espressione errata. E la ringrazio per l'aiuto che mi sta dando.
Prego! Non c'è bisogno di scusarsi! Non darmi del lei per favore, sul forum ci si dà del tu indipendentemente dall'età o dalla posizione sociale (e poi sono ancora giovane 
).
Venendo alla domanda, una parametrizzazione per una circonferenza di raggio $R$ e di centro $z_0$ è $z=z_0+Re^{i\theta}$, con $\theta \in [0,2\pi)$.
Se ci pensi è intuitivo: l'uguaglianza ti dice che un generico numero complesso $z$ (membro di sinistra) ha coordinate del tipo $z_0$ (che è il centro della circonferenza voluto) più i punti sulla circonferenza di raggio $R$ (e tale somma è il membro di destra), ossia al variare di $\theta \in [0,2\pi)$ stai descrivendo gli $z$ appartenenti alla circonferenza di raggio $R$ e centro $z_0$.
).Venendo alla domanda, una parametrizzazione per una circonferenza di raggio $R$ e di centro $z_0$ è $z=z_0+Re^{i\theta}$, con $\theta \in [0,2\pi)$.
Se ci pensi è intuitivo: l'uguaglianza ti dice che un generico numero complesso $z$ (membro di sinistra) ha coordinate del tipo $z_0$ (che è il centro della circonferenza voluto) più i punti sulla circonferenza di raggio $R$ (e tale somma è il membro di destra), ossia al variare di $\theta \in [0,2\pi)$ stai descrivendo gli $z$ appartenenti alla circonferenza di raggio $R$ e centro $z_0$.
Niente Lei allora 
Scusami nel ritardo nella risposta. E' stato davvero molto chiaro e credo di aver capito molto meglio l'argomento. Ti ringrazio ancora e di cuore. Perchè non avendo avuto potuto seguire bene le lezioni del corso, studiando solo dal libro mi sono rimasti davvero ostici alcuni argomenti. Buona giornata 
Scusami nel ritardo nella risposta. E' stato davvero molto chiaro e credo di aver capito molto meglio l'argomento. Ti ringrazio ancora e di cuore. Perchè non avendo avuto potuto seguire bene le lezioni del corso, studiando solo dal libro mi sono rimasti davvero ostici alcuni argomenti. Buona giornata
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