Integrale Lebesgue
Buongiorno a tutti,
Ho risolto il seguente integrale applicando il Th. della convergenza dominata :
$∫(arctg(n^2*x))/(1+nx^2) dx$ per $ n->+∞$
Chiamando $fn(x)=(arctg(n^2*x))/(1+nx^2)$ calcolo il limite di $fn(x)$ per $ n->+∞$ =$0$.
Maggioro poi $|fn(x)|$ con $|1/(1+n*x^2)|$ che ha $∫|1/(1+n*x^2)| <+∞$ quindi posso applicare il th. della convergenza dominata e risulta che l'integrale da $0$.
Mi chiedo se sia corretta la maggiorazione che ho applicato ?
Grazie e buona giornata.
Ho risolto il seguente integrale applicando il Th. della convergenza dominata :
$∫(arctg(n^2*x))/(1+nx^2) dx$ per $ n->+∞$
Chiamando $fn(x)=(arctg(n^2*x))/(1+nx^2)$ calcolo il limite di $fn(x)$ per $ n->+∞$ =$0$.
Maggioro poi $|fn(x)|$ con $|1/(1+n*x^2)|$ che ha $∫|1/(1+n*x^2)| <+∞$ quindi posso applicare il th. della convergenza dominata e risulta che l'integrale da $0$.
Mi chiedo se sia corretta la maggiorazione che ho applicato ?
Grazie e buona giornata.
Risposte
Ciao frat92ds,
No, ma quasi...
Hai scritto la maggiorazione $arctan(n^2x) < 1 $, mentre quella corretta è $arctan(n^2x) < \pi/2 $
"frat92ds":
Mi chiedo se sia corretta la maggiorazione che ho applicato ?
No, ma quasi...
Hai scritto la maggiorazione $arctan(n^2x) < 1 $, mentre quella corretta è $arctan(n^2x) < \pi/2 $
Ovviamente non avevo considerato la limitatezza della funzione $arctan$ 
, Grazie.
Comunque l'integrale risulta $0$.
, Grazie.Comunque l'integrale risulta $0$.
"frat92ds":
Grazie.
Prego.
"frat92ds":
Comunque l'integrale risulta $0$.
Beh sì, si ha:
$\pi/2 \int 1/(1 + nx^2) \text{d}x = \pi/2 (arctan\sqrt{n}x)/\sqrt{n} + c $
Pertanto si ha:
$\pi/2 \int_0^{+\infty} 1/(1 + nx^2) \text{d}x = \pi/2[(arctan\sqrt{n}x)/\sqrt{n}]_0^{+\infty} = (\pi^2)/(4\sqrt{n}) $
Quindi si conclude che si ha:
$\lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} f_n(x) \text{d}x = 0 $
Qual è l'intervallo di integrazione? Hai scritto un integrale indefinito.
Inoltre, qui:
Questo è sbagliato, perché il teorema della convergenza dominata richiede che la maggiorazione delle $|f_n|$ sia fatta con una funzione $g$ dipendente esclusivamente da $x$ e non da $n$. Tuttavia, ciò si può risolvere osservando che, assumendo $n \ge 1$ (perché $n \to \infty$), è $nx^2 \ge x^2$ e quindi puoi maggiorare nuovamente usando $\frac{\pi}{2(1+nx^2)} \le \frac{\pi}{2(1+x^2)}$.
Inoltre, devi assicurarti che la funzione $g$ appartenga ad $L^1$ del tuo intervallo di integrazione e verificare le altre ipotesi di misurabilità del teorema; in conclusione, sono importanti tutte le ipotesi del teorema e non solo quelle relative alle funzioni coinvolte.
Inoltre, qui:
"frat92ds":
Maggioro poi $|fn(x)|$ con $|1/(1+n*x^2)|$ che ha $∫|1/(1+n*x^2)| <+∞$ quindi posso applicare il th. della convergenza dominata e risulta che l'integrale da $0$.
Questo è sbagliato, perché il teorema della convergenza dominata richiede che la maggiorazione delle $|f_n|$ sia fatta con una funzione $g$ dipendente esclusivamente da $x$ e non da $n$. Tuttavia, ciò si può risolvere osservando che, assumendo $n \ge 1$ (perché $n \to \infty$), è $nx^2 \ge x^2$ e quindi puoi maggiorare nuovamente usando $\frac{\pi}{2(1+nx^2)} \le \frac{\pi}{2(1+x^2)}$.
Inoltre, devi assicurarti che la funzione $g$ appartenga ad $L^1$ del tuo intervallo di integrazione e verificare le altre ipotesi di misurabilità del teorema; in conclusione, sono importanti tutte le ipotesi del teorema e non solo quelle relative alle funzioni coinvolte.
Perfetto, vi ringrazio ora mi è più chiaro
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