Integrale in campo complesso

[fdeerica1]

Mi viene chiesto di risolvere questo integrale applicando la definizione. Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?

$\int_{\gamma} \frac{dz}{z}$ con $\gamma=[1-i,1+i,-1+i,-1-i,1-i]$ (quadrato di lato 2 centrato in 0)

Inizio parametrizzando il cammino $\gamma$:

$\gamma_1(t)=1+it$ con $t\in[-1,1]$
$\gamma_2(t)=-t+i$ con $t\in[-1,1]$
$\gamma_3(t)=-1-it$ con $t\in[-1,1]$
$\gamma_4(t)=t-i$ con $t\in[-1,1]$
[/list:u:654heoj8]

A questo punto utilizzo la definizione $\int_{\gamma} f(z) = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt$

Quindi:

$\int_{\gamma} \frac{dz}{z} =$

$= \int_{\gamma_1} \frac{dz}{z} + \int_{\gamma_2} \frac{dz}{z} + \int_{\gamma_3} \frac{dz}{z} + \int_{\gamma_4} \frac{dz}{z}=$

$= \int_-1^1 \frac{1}{\gamma_1(t)}\gamma'_1(t)dt + \int_-1^1 \frac{1}{\gamma_2(t)}\gamma'_2(t)dt + \int_-1^1 \frac{1}{\gamma_3(t)}\gamma'_3(t)dt + \int_-1^1 \frac{1}{\gamma_4(t)}\gamma'_4(t)dt=$

$= i \int_-1^1 \frac{1}{1+it}dt - \int_-1^1 \frac{1}{-t+i} dt - i \int_-1^1 \frac{1}{-1-it}dt + \int_-1^1 \frac{1}{t-i}dt =$

$= i \int_-1^1 \frac{1}{1+it}dt + \int_-1^1 \frac{1}{t-i} dt + i \int_-1^1 \frac{1}{1+it}dt + \int_-1^1 \frac{1}{t-i}dt =$

$= 2i \int_-1^1 \frac{1}{1+it}dt + 2\int_-1^1 \frac{1}{t-i} dt=$

$= 2 { i [ \int_-1^1 \frac{1}{1+it}dt ] + \int_-1^1 \frac{1}{t-i} dt } =$

$= 2 { i [ log(1+it) ]_-1^1 + [ log(t-i) ]_-1^1 } =$

(i termini $log(\sqrt{2})$ si annullano a vicenda in entrambe le parentesi quadre)

$= 2 { i [ log(1+i) - log(1-i) ] + [ log(1-i) - log(-1-i) ] } =$

$= 2 { i [ \frac{\pi}{4}i - (-\frac{\pi}{4}i) ] + [ -\frac{\pi}{4}i + (-\frac{3\pi}{4}i) ] } =$

$= 2 { i [ \frac{\pi}{2}i ] + [ \frac{\pi}{2}i ] } =$

$= - \pi+ \pi i =$

$= \pi (i-1) $

Il risultato dovrebbe essere $2 \pi i$.
Vi chiedo gentilmente di non proporre procedimenti alternativi. Vorrei sapere come calcolare questo integrale applicando la definizione e soprattutto vorrei capire dove sbaglio. Grazie.

[gugo82]

Sicura che tutti i tratti di frontiera siano raccordati e percorsi nel verso giusto?

Hai controllato se hai usato la determinazione giusta per gli argomenti dei logaritmi?

[Mephlip]

Ciao! Sbagli qui

"fdeerica":

$= 2 { i [ \int_-1^1 \frac{1}{1+it}dt ] + \int_-1^1 \frac{1}{t-i} dt } =$

$= 2 { i [ log(1+it) ]_-1^1 + [ log(t-i) ]_-1^1 } =$

Nel primo integrale la $i$ non c'è nella primitiva, perché è la derivata del denominatore; il calcolo corretto è
$$i \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+it} \text{d}t=\int_{-1}^{1} \frac{i}{1+it} \text{d}t=\left[\log(1+it)\right]_{-1}^{1}$$
Che ti porta al risultato corretto $2\pi i$.

[fdeerica1]

"Mephlip":Ciao! Sbagli qui
[quote="fdeerica"]

$ = 2 { i [ \int_-1^1 \frac{1}{1+it}dt ] + \int_-1^1 \frac{1}{t-i} dt } = $

$ = 2 { i [ log(1+it) ]_-1^1 + [ log(t-i) ]_-1^1 } = $

Nel primo integrale la $ i $ non c'è nella primitiva, perché è la derivata del denominatore; il calcolo corretto è
\[ i \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+it} \text{d}t=\int_{-1}^{1} \frac{i}{1+it} \text{d}t=\left[\log(1+it)\right]_{-1}^{1} \]
Che ti porta al risultato corretto $ 2\pi i $.[/quote]

Sì, alla fine me ne sono accorta, era un errore di distrazione. Grazie mille comunque!