Integrale improprio
Buongiorno,
sono alle prese con una dimostrazione di fisica. Ma il mio problema è di natura matematica e riguarda il seguente integrale improprio (ho omesso il termine numerico che moltiplica l'integrale):
$ psi (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi (k) e^(ikx) dk $
voglio scrivere il complesso coniugato della funzione psi e capire sotto quali condizioni essa appartiene ai reali.
Per cui: $ psi^(** ) (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi^(**)(k) e^(-ikx) dk $
a questo punto, seguendo le dispense, si compie un cambio di variabile, $krarr -k$ e il testo aggiunge che il cambio variabile:
"is allowable because we are integrating over all k,and the two sign flips, one from the measure dk and one from switching the limits of integration, cancel each other out".
In base a ciò si potrà scrivere che, $ psi^(** ) (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi^(**)(k) e^(-ikx) dk =int_(-oo )^(oo ) phi^(**)(-k) e^(ikx) dk $
Ora, il mio problema è che non riesco a motivare bene questi passaggi, descritti dal testo citato. Come il cambio di variabile permetta ai segni cambiare.
Grazie del vostro tempo.
sono alle prese con una dimostrazione di fisica. Ma il mio problema è di natura matematica e riguarda il seguente integrale improprio (ho omesso il termine numerico che moltiplica l'integrale):
$ psi (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi (k) e^(ikx) dk $
voglio scrivere il complesso coniugato della funzione psi e capire sotto quali condizioni essa appartiene ai reali.
Per cui: $ psi^(** ) (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi^(**)(k) e^(-ikx) dk $
a questo punto, seguendo le dispense, si compie un cambio di variabile, $krarr -k$ e il testo aggiunge che il cambio variabile:
"is allowable because we are integrating over all k,and the two sign flips, one from the measure dk and one from switching the limits of integration, cancel each other out".
In base a ciò si potrà scrivere che, $ psi^(** ) (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi^(**)(k) e^(-ikx) dk =int_(-oo )^(oo ) phi^(**)(-k) e^(ikx) dk $
Ora, il mio problema è che non riesco a motivare bene questi passaggi, descritti dal testo citato. Come il cambio di variabile permetta ai segni cambiare.
Grazie del vostro tempo.
Risposte
Ciao cla29,
Beh, in realtà mi pare piuttosto semplice:
$ psi^(** ) (x,o)=\int_{-\infty}^{+\infty} \phi^(**)(k) e^(-ikx) \text{d}k \stackrel {k := - k}[=] \int_{+\infty}^{-\infty} \phi^(**)(- k) e^(ikx) \text{d}(- k) = $
$ = - \int_{+\infty}^{-\infty} \phi^(**)(- k) e^(ikx) \text{d}k = \int_{-\infty}^{+\infty} \phi^(**)(- k) e^(ikx) \text{d}k $
Beh, in realtà mi pare piuttosto semplice:
$ psi^(** ) (x,o)=\int_{-\infty}^{+\infty} \phi^(**)(k) e^(-ikx) \text{d}k \stackrel {k := - k}[=] \int_{+\infty}^{-\infty} \phi^(**)(- k) e^(ikx) \text{d}(- k) = $
$ = - \int_{+\infty}^{-\infty} \phi^(**)(- k) e^(ikx) \text{d}k = \int_{-\infty}^{+\infty} \phi^(**)(- k) e^(ikx) \text{d}k $
Gentilissimo,
hai ragione, era facile e mi sono perso per niente. Solo un'ultima cosa, capisco intuitivamente quando il testo dice che il cambio variabile è permesso perché integriamo su tutti i k; ma in generale, ciò significa che in questo tipo di integrale improprio è sempre indifferente integrare, diciamo con dx o d(-x)?
Grazie e saluti.
hai ragione, era facile e mi sono perso per niente. Solo un'ultima cosa, capisco intuitivamente quando il testo dice che il cambio variabile è permesso perché integriamo su tutti i k; ma in generale, ciò significa che in questo tipo di integrale improprio è sempre indifferente integrare, diciamo con dx o d(-x)?
Grazie e saluti.
Beh, se $-\infty < k < +\infty \implies -\infty < - k < +\infty $, siamo comunque su tutti i reali; infatti quell'integrale viene anche spesso scritto nel modo seguente:
$\psi^(** ) (x,o)=\int_{\RR} \phi^(**)(- k) e^(i k x) \text{d}k $
$\psi^(** ) (x,o)=\int_{\RR} \phi^(**)(- k) e^(i k x) \text{d}k $
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