Integrale funzione razionale di cosx con residui

[melli13]

Dovrei risolvere questo integrale con il metodo dei residui:
$\int_{0}^{2\pi} 1/(5-3*cosx)^2 dx$
Cerchiamo di vederlo su $S^1$
$z=e^(it)=cost+i*sent$
$\bar z=e^(-it)=1/z$
$cost=Re(z)=1/2*Re(z+\bar z)=1/2*(z+1/z)=(z^2+1)/(2z)$
$dt=-i*1/z dz$
Quindi posso vedere l'integrale come:
$\int_{\gamma} 1/(5-(3z^2+3)/(2z))^2*(-i)*1/z dz$ dove $\gamma={e^(i\theta), \theta in [0,2pi]}$
$=\int_{\gamma} (4z^2)/(10z-3z^2-3)^2*(-i)*1/z dz = -i \int_{\gamma} (4z)/(3z^2-10z+3)^2 dz$
Il denominatore ha due zeri, entrambi di ordine 2: $z_1=1/3$ (interno alla curva), $z_2=3$ (esterno alla curva)
$(4z)/(3z^2-10z+3)^2=1/(z-1/3)^2*(4z)/(z-3)^2$
Il secondo fattore è una funzione olomorfa intorno a $1/3$ e quindi esiste la sua serie di taylor. Se calcolo la sua derivata in $z=1/3$ ottengo il residuo della funzione.
$d/dz((4z)/(z-3)^2)=4/(z-3)^2-(8z)/(z-3)^3$ e valutata in $z=1/3$ ottengo $Res(f,1/3)=45/64$
$\int_{0}^{2\pi} 1/(5-3*cosx)^2 dx = -i*2pi*i(45/64)=45/32 pi$

Problema: Ho inserito l'integrale su wolfram per vedere se era giusto e non lo è! Il risultato dovrebbe venire $5/32 pi$. Dove sbaglio? Non riesco a capirlo. Grazie mille

[sandroroma]

Ti sei "mangiato " [ ] un 9 nel fare la scomposizione in fratti semplici:
${4z}/{(3z^2-10z+3)^2}={4z}/{9(z-1/3)^2*(z-3)^2}$

[melli13]

@sandroroma Uuuuuu che scemotta! Alle scuole medie devo tornare!
Grazie mille...pensavo di non aver capito nulla di questi integrali