Integrale funzione complessa

[antemysya]

Buonasera, sto studiando l'analisi complessa e pensavo che una parte della teoria mi fosse abbastanza chiara, ma probabilmente non è così poichè non riesco a capire questa cosa. Spero possiate aiutarmi.
Se considero una funzione $f(z)=1/z^n$ con $ n in ZZ$
tale funzione è continua in $C-{0}$ , dunque, se considero l'integrale delle funzioni complesse, posso integrare tale $f(z)$ lungo ogni curva che non passa per $0$. Vado quindi a prendere, ad esempio, $gamma=gamma_R(t)=Re^(it)$ dove $t in [0,2pi]$.
Dato $int_{gamma} f(z)$
per $n=1$
sarà $int_{gamma} f(z) = 2ipi AAR$
se $n!=1$
sarà $int_{gamma} f(z)=0$

Poi parla di funzioni olomorfe, dicendo che per $n=1$ risulta $int_{gamma}f(z)!=0$ poichè non è una forma differenziale chiusa (sappiamo che $f(z)$ è olomorfa $hArr$ $omega_1, omega_2 in C^1$ e sono chiuse, dove, per definizione di integrale complesso $int_{gamma} f(z)=int_{gamma} omega_1 + iint_{gamma}omega_2$).
Ma $f(z)$ non risulta essere olomorfa in $C-{0}$? Quindi per ogni $B_r(0)$ che considero non risulterà $f(z)$ non essere olomorfa in esso $AA n$? E quindi anche per $n!=1$?

[Rigel1]

La funzione \(f(z) = z^{-n}\), con \(n\) naturale positivo, è olomorfa in \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\), dunque la corrispondente forma differenziale è chiusa.
Se \(n\neq 1\) allora tale forma differenziale è anche esatta, mentre per \(n=1\) non lo è.