Integrale di linea con residui 2

[bio1998]

Buon pomeriggio, come esercizio devo calcolare il seguente integrale di linea :
$ oint_(C)z^2/(senh^2(z) $

lungo la circonferenza
$ zin C, |z|=7 $

Volendo utilizzare il teorema dei residui per calcolare tale integrale, dopo aver classificato le singolarità della funzione ho che :

0 è una singolarità eliminabile

$ pi i, -pi i, 2pi i, -2pi i $ sono poli del secondo ordine

Quindi il primo residuo dovrebbe essere 0, sto avendo difficoltà nel calcolare gli altri per via della derivata che mi si presenta e mi chiedevo se ci fosse una via più agevole per calcolare tali residui.
Grazie in anticipo

Aggiungo che esiste la possibilità che io abbia scritto male la funzione da integrare

[gugo82]

Perché i conti sono difficili?
Non mi pare... Riportali e li vediamo insieme.

[bio1998]

"gugo82":Perché i conti sono difficili?
Non mi pare... Riportali e li vediamo insieme.

ad esempio, per il residuo in $ pi i $ mi viene questo limite:
$ lim_(z -> pi i) d/dz[z^2/(senh^2(z))(z - pi i)] $
La derivata mi sembra molto complessa. Ho provato anche a sostituire il seno iperbolico con $ senh(z) = (e^z - e^-z)/2 $ ma non sembra semplificare le cose. Ho anche pensato di sviluppare il seno iperbolico con Taylor, ma niente.
C'è qualcosa che mi sfugge?

[Mephlip]

Occhio che $z=\pi i$ è un polo del secondo ordine, quindi nella derivata hai $(z-\pi i)^2$ e non $(z-\pi i)$.
Quindi puoi scrivere così
$$\frac{\text{d}}{\text{d}z} \left[\frac{z^2}{\sinh^2 z} (z-\pi i)^2\right]=\frac{\text{d}}{\text{d}z} \left[\frac{(z^2-\pi i z)^2}{\sinh^2 z}\right]$$
Che non mi sembra così complessa come derivata di un rapporto.

[bio1998]

Grazie. Sì il quadrato ho dimenticato di metterlo nel post, ma sul quaderno l'ho messo, provo a calcolarla così.

[gugo82]

Non ti deve “sembrare”; deve “essere” o “non essere”.
Mai fasciarsi la testa prima di essersela rotta.

Inoltre, mettendo tutto sotto un’unica potenza si ottiene $((z(z-pi i))/(sinh z))^2$, quindi basta calcolare la derivata della base.