Integrale di Lebesgue
Buongiorno, avrei bisogno di una mano sugli integrali di Lebesgue. Ho molto ben chiara la teoria sia a partire dal concetto di $\sigma\text{-algebra}$ fino a tutti i teoremi che coinvolgono l'integrale di Lebesgue. Tuttavia faccio davvero fatica a trovare diciamo un modo operativo per poter risolvere gli integrali di Lebesgue. Mi verrebbe d'istinto di operare allo stesso modo di come si fa con gli integrali di Riemann. Ad esempio, questo primo esercizio mi chiede di andare a valutare l'integrale di questa funzione nell'intervallo $[0,1]$
$$
f(x)=\begin{cases}x^2 \quad &x \notin \mathbb{Q} \\
1 \quad &x \in \mathbb{Q}\end{cases}
$$
Applicando una prima parte teorica mi verrebbe da dire che anzitutto delle tre categorie di funzioni per cui a lezione ho definito l'integrale di Lebesgue tra funzioni semplici, funzioni misurabili e positive e funzioni misurabili, rientra nel secondo caso.
Per cui pensavo di vedere questo integrale nel seguente modo
$$
\int_{[0,1]}f dm = \int_{[0,1] \backslash \mathbb{Q}}x^2 dm + \int_{[0,1]\cap \mathbb{Q}} 1dm
$$
A questo punto il secondo integrale vale zero perché la misura di quell'insieme è nullo. Mentre del primo integrale ho che la misura di quell'insieme vale 1.
Quello che ho pensato è di usare il teorema di Vitali-Lebesgue per il primo integrale, perché la funzione è definita su un intervallo compatto, dunque limitato ed è continua eccetto al più un numero di punti il cui insieme ha misura nulla. Per cui posso passare all'integrale di Riemann
$$
\int_{[0,1]}f dm = \int_0^1 x^2 dx + 0 = \frac 13
$$
Vorrei capire se come ragionamento funziona, oppure no. Nel caso in cosa sto sbagliando? Oppure si poteva risolvere diversamente? Nel caso in cui non avessi potuto sfruttare Vitali-Lebesgue come avrei dovuto agire? Esprimere $f(x)$ come una successione? Un esempio?
Scusate le mille domande, ma ho abbastanza incertezze su come operare/lavorare con gli integrali di Lebesgue.
$$
f(x)=\begin{cases}x^2 \quad &x \notin \mathbb{Q} \\
1 \quad &x \in \mathbb{Q}\end{cases}
$$
Applicando una prima parte teorica mi verrebbe da dire che anzitutto delle tre categorie di funzioni per cui a lezione ho definito l'integrale di Lebesgue tra funzioni semplici, funzioni misurabili e positive e funzioni misurabili, rientra nel secondo caso.
Per cui pensavo di vedere questo integrale nel seguente modo
$$
\int_{[0,1]}f dm = \int_{[0,1] \backslash \mathbb{Q}}x^2 dm + \int_{[0,1]\cap \mathbb{Q}} 1dm
$$
A questo punto il secondo integrale vale zero perché la misura di quell'insieme è nullo. Mentre del primo integrale ho che la misura di quell'insieme vale 1.
Quello che ho pensato è di usare il teorema di Vitali-Lebesgue per il primo integrale, perché la funzione è definita su un intervallo compatto, dunque limitato ed è continua eccetto al più un numero di punti il cui insieme ha misura nulla. Per cui posso passare all'integrale di Riemann
$$
\int_{[0,1]}f dm = \int_0^1 x^2 dx + 0 = \frac 13
$$
Vorrei capire se come ragionamento funziona, oppure no. Nel caso in cosa sto sbagliando? Oppure si poteva risolvere diversamente? Nel caso in cui non avessi potuto sfruttare Vitali-Lebesgue come avrei dovuto agire? Esprimere $f(x)$ come una successione? Un esempio?
Scusate le mille domande, ma ho abbastanza incertezze su come operare/lavorare con gli integrali di Lebesgue.
Risposte
Va benissimo così.
O, più semplicemente, la tua $f$ coincide q.o. con $f^**(x) := x^2$ che è continua, quindi:
\[
\intop_{[0,1]} f\ \text{d} m = \int_0^1 f^* (x)\ \text{d} x = \frac{1}{3}
\]
(con l'integrale al secondo membro inteso nel senso di Riemann e calcolato col TFCI).
O, più semplicemente, la tua $f$ coincide q.o. con $f^**(x) := x^2$ che è continua, quindi:
\[
\intop_{[0,1]} f\ \text{d} m = \int_0^1 f^* (x)\ \text{d} x = \frac{1}{3}
\]
(con l'integrale al secondo membro inteso nel senso di Riemann e calcolato col TFCI).
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