Integrale di cos(x)/x ?
Ciao a tutti!
Cercando di risolvere
$ \int sinx/x\ \text{d} x $
valutando l'integrale di exp(jz)/z con z = x, si finisce per avere:
$ j\int sinx/x\ \text{d} x $ + $ \int cosx/x\ \text{d} x = jπ $
A questo punto il mio professore conclude dicendo che l'integrale indefinito di cosx/x è nullo, e che quindi:
$ j\int sinx/x\ \text{d} x = jπ $
Il punto è che non mi è molto chiaro perchè questo integrale di cosx/x sia nullo, qualcuno può aiutarmi?
Se necessario posso contestualizzare il caso riportando i passaggi della dimostrazione in questione
Cercando di risolvere
$ \int sinx/x\ \text{d} x $
valutando l'integrale di exp(jz)/z con z = x, si finisce per avere:
$ j\int sinx/x\ \text{d} x $ + $ \int cosx/x\ \text{d} x = jπ $
A questo punto il mio professore conclude dicendo che l'integrale indefinito di cosx/x è nullo, e che quindi:
$ j\int sinx/x\ \text{d} x = jπ $
Il punto è che non mi è molto chiaro perchè questo integrale di cosx/x sia nullo, qualcuno può aiutarmi?
Se necessario posso contestualizzare il caso riportando i passaggi della dimostrazione in questione
Risposte
Mmmm penso che ci sia un errore di trascrizione; cioè il tuo professore credo concluda
$ j \int_{\mathbb{R}} \frac{\sin(x)}{x} dx = j \pi $
Comunque la tua domanda è perché
$\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos(x)}{x}dx=0$
Vale
$\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos(x)}{x} dx = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac{\cos(x)}{x} dx = \lim_{R \to \infty} 0 = 0$
dove $\int_{-R}^{R} \frac{\cos(x)}{x} dx =0$ perché è una funzione dispari integrata su un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
Ciao!
$ j \int_{\mathbb{R}} \frac{\sin(x)}{x} dx = j \pi $
Comunque la tua domanda è perché
$\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos(x)}{x}dx=0$
Vale
$\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos(x)}{x} dx = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac{\cos(x)}{x} dx = \lim_{R \to \infty} 0 = 0$
dove $\int_{-R}^{R} \frac{\cos(x)}{x} dx =0$ perché è una funzione dispari integrata su un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
Ciao!
Ciao e grazie mille per l'aiuto effettivamente potevo arrivarci da solo, ma ho la testa calda e affogo in un bicchier d'acqua!
Si, hai ragione, ho dimenticato j che invece è necessario, dato che deriva dallo sviluppo dell'esponenziale! Edito il primo messaggio per fare chiarezza!
È proprio come dici te, ma questo vale solo con l'escamotage di integrare tra -R ed R e poi facendo tendere R a infinito?
Lo stesso integrale, posto semplicemente come
$ ∫cosx/x dx $
sarebbe comunque nullo?
Si, hai ragione, ho dimenticato j che invece è necessario, dato che deriva dallo sviluppo dell'esponenziale! Edito il primo messaggio per fare chiarezza!
È proprio come dici te, ma questo vale solo con l'escamotage di integrare tra -R ed R e poi facendo tendere R a infinito?
Lo stesso integrale, posto semplicemente come
$ ∫cosx/x dx $
sarebbe comunque nullo?
L'integrale scritto così
$\int \frac{\cos(x)}{x} dx$
ha il senso di integrale indefinito, cioè della ricerca di una primitiva, che in questo caso esiste ad esempio.
Quando invece si scrive
$\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos(x)}{x} dx = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\cos(x)}{x} dx$
C'è in effetti una questione di interpretazione, te lo scrivo alla buona, se poi non è chiaro dimmelo.
Se si intende l'integrale improprio secondo Riemann allora bisogna spezzare l'integrale sui due intervalli $ (-\infty , x_0)$ e $(x_0, + \infty)$; se entrambi convergono allora l'integrale "totale" è la somma dei due, altrimenti l'integrale "totale" non esiste.
Se si intende l'integrale improprio in valor principale (p.v.) di Cauchy allora è proprio la definizione che ti ho scritto prima, ovvero si passa al limite l'integrale fatto su un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
Se l'integrale in p.v. esiste, allora esiste anche quello alla Riemann, il viceversa è falso. Questo è oltretutto proprio il nostro caso o ad esempio quello dell'arcotangente integrata su $\mathbb{R}$.
$\int \frac{\cos(x)}{x} dx$
ha il senso di integrale indefinito, cioè della ricerca di una primitiva, che in questo caso esiste ad esempio.
Quando invece si scrive
$\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos(x)}{x} dx = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\cos(x)}{x} dx$
C'è in effetti una questione di interpretazione, te lo scrivo alla buona, se poi non è chiaro dimmelo.
Se si intende l'integrale improprio secondo Riemann allora bisogna spezzare l'integrale sui due intervalli $ (-\infty , x_0)$ e $(x_0, + \infty)$; se entrambi convergono allora l'integrale "totale" è la somma dei due, altrimenti l'integrale "totale" non esiste.
Se si intende l'integrale improprio in valor principale (p.v.) di Cauchy allora è proprio la definizione che ti ho scritto prima, ovvero si passa al limite l'integrale fatto su un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
Se l'integrale in p.v. esiste, allora esiste anche quello alla Riemann, il viceversa è falso. Questo è oltretutto proprio il nostro caso o ad esempio quello dell'arcotangente integrata su $\mathbb{R}$.
comunque vorrei sottolineare che in questo post gli integrali indefiniti non c'entrano NULLA. Occhio inoltre al fatto che \(\frac{\cos x}{x}\) non è integrabile neanche intorno a \(0\). Si intende quindi che
\[
\int_{\mathbb R} \frac{\cos x}{x}\, dx = \lim_{R\to +\infty, \epsilon\to 0^+}\left(\int_{-R}^{-\epsilon}+\int_{\epsilon}^R\right) \frac{\cos x}{x}\, dx\]
che è nullo.
\[
\int_{\mathbb R} \frac{\cos x}{x}\, dx = \lim_{R\to +\infty, \epsilon\to 0^+}\left(\int_{-R}^{-\epsilon}+\int_{\epsilon}^R\right) \frac{\cos x}{x}\, dx\]
che è nullo.
"dissonance":
comunque vorrei sottolineare che in questo post gli integrali indefiniti non c'entrano NULLA.
Si, era solo per dire che il simbolo così non vuole dire niente di rilevante per la discussione, spero di non aver creato confusione.
"dissonance":
Occhio inoltre al fatto che \(\frac{\cos x}{x}\) non è integrabile neanche intorno a \(0\). Si intende quindi che
\[
\int_{\mathbb R} \frac{\cos x}{x}\, dx = \lim_{R\to +\infty, \epsilon\to 0^+}\left(\int_{-R}^{-\epsilon}+\int_{\epsilon}^R\right) \frac{\cos x}{x}\, dx\]
che è nullo.
Questo invece me lo ero proprio dimenticato: una svista bella grossa! Grazie per la correzione!
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