Integrale con teorema residui
Buongiorno ragazzi, in pratica l'integrale in questione è :
$\int_(+deltaD) [(z)sen(1/z)cos(1/(z-1))]/(z-3) dz$ dove D è il rettangolo: $D={(-1-i),(-1+i),(2-i),(2+i)}$
Ora quando vado a considerare le singolarità, ottengo $z_0 = 3$ polo del primo ordine che però non rientra nella regione di piano.
Come procedo?
Calcolo le singolarità essenziali del numeratore e applico il secondo teorema dei residui(res.infinito + res.al finito)?
In questo caso quando vado a calcolare il residuo all'infinito $Res(f(z), infty)=Res(g(omega),0)$ con $g(omega) = -1/omega^2 f(1/omega)$ non riesco a procedere nel calcolo.
Sono un pò confuso su questo tipo di integrali
$\int_(+deltaD) [(z)sen(1/z)cos(1/(z-1))]/(z-3) dz$ dove D è il rettangolo: $D={(-1-i),(-1+i),(2-i),(2+i)}$
Ora quando vado a considerare le singolarità, ottengo $z_0 = 3$ polo del primo ordine che però non rientra nella regione di piano.
Come procedo?
Calcolo le singolarità essenziali del numeratore e applico il secondo teorema dei residui(res.infinito + res.al finito)?
In questo caso quando vado a calcolare il residuo all'infinito $Res(f(z), infty)=Res(g(omega),0)$ con $g(omega) = -1/omega^2 f(1/omega)$ non riesco a procedere nel calcolo.
Sono un pò confuso su questo tipo di integrali
Risposte
Sergeant ti ringrazio della risposta, quell'integrale che hai segnalato l'ho postato sempre io 
Il problema è che facendo il limite per il residuo all'infinito mi blocco.
Inoltre,tenendo in mente la formula del teorema dei residui, concordi che i residui da calcoare sono:
$-2pi i [Res(f(z), infty) + sum_{j=1}^k Res(f,z_j)]$ dove $z_j$ sono le singolarità fuori dalla regione.
Quindi dovrebbero essere $Res(f(z), infty) + Res(f(z),0) + Res(f(z),1)$ .
Giusto?
P.S. $z=0$ annulla due volte il numeratore, influisce sul calcolo del residuo essendo singolarità essenziale e non un polo?
Il problema è che facendo il limite per il residuo all'infinito mi blocco.
Inoltre,tenendo in mente la formula del teorema dei residui, concordi che i residui da calcoare sono:
$-2pi i [Res(f(z), infty) + sum_{j=1}^k Res(f,z_j)]$ dove $z_j$ sono le singolarità fuori dalla regione.
Quindi dovrebbero essere $Res(f(z), infty) + Res(f(z),0) + Res(f(z),1)$ .
Giusto?
P.S. $z=0$ annulla due volte il numeratore, influisce sul calcolo del residuo essendo singolarità essenziale e non un polo?
"Dxerxes":
... quell'integrale che hai segnalato l'ho postato sempre io ...
Anche per questo l'ho segnalato. Almeno inizialmente, si può procedere allo stesso modo:
$[z=1/w] ^^ [g(w)=f(1/w)] rarr Res[f(z),oo]=-Res[g(w)/w^2,0]$
$f(z)=z/(z-3)sin(1/z)cos(1/(z-1))$
$g(w)=1/(1-3w)sinwcos(w/(1-w))$
$g(w)/w^2=1/(w^2(1-3w))sinwcos(w/(1-w))$
Tuttavia, mentre in quell'esercizio $[g(w)/w^2]$ è olomorfa per $[w=0]$ (residuo nullo), in questo esercizio $[g(w)/w^2]$ ha un polo del 1° ordine per $[w=0]$ (residuo non nullo). Infatti:
$Res[g(w)/w^2,0]=lim_(w->0)w*1/(w^2(1-3w))sinwcos(w/(1-w))=1$
$Res[f(z),oo]=-1$
Quindi:
$\int_\gammaf(z)dz=2\pii[Res[f(z),0]+Res[f(z),1]]=2\pii[1-Res[f(z),3]]$
In definitiva, non resta che calcolare il residuo di $[f(z)]$ per $[z=3]$:
$Res[f(z),3]=lim_(z->3)(z-3)*z/(z-3)sen(1/z)cos(1/(z-1))=3sin(1/3)cos(1/2)$
Perdonami ma non riesco a capire la questione dell'olomorfia.
Anche nell'esercizio precedente per $omega=0$ in $[g(omega)/omega^2]$ avevamo un polo del primo ordine (o sbaglio?) però lì avevamo concluso dicendo che il residuo era 0 mentre qui 1.
Infatti scrivesti "se il limite di $[g(omega)/omega^2] =1$ per $omega -> 0$ non è singolare nell'origine. Allora il residuo nell'origine è 0." Ma anche qui viene 1 :c quindi anche qui dobbiamo dire che il residuo all'infinito è 0 ?
Scusami ancora se ti disturbo
Anche nell'esercizio precedente per $omega=0$ in $[g(omega)/omega^2]$ avevamo un polo del primo ordine (o sbaglio?) però lì avevamo concluso dicendo che il residuo era 0 mentre qui 1.
Infatti scrivesti "se il limite di $[g(omega)/omega^2] =1$ per $omega -> 0$ non è singolare nell'origine. Allora il residuo nell'origine è 0." Ma anche qui viene 1 :c quindi anche qui dobbiamo dire che il residuo all'infinito è 0 ?
Scusami ancora se ti disturbo
Probabilmente non ti sei accorto del fattore $[w]$ che compare prima di $[g(w)/w^2]$:
Come può un polo del 1° ordine avere residuo nullo? Sei sicuro di avere le basi necessarie per affrontare questi esercizi?
$Res[g(w)/w^2,0]=lim_(w->0)w*1/(w^2(1-3w))sinwcos(w/(1-w))=1$
"Dxerxes":
... avevamo un polo del primo ordine ... avevamo concluso dicendo che il residuo era 0 ...
Come può un polo del 1° ordine avere residuo nullo? Sei sicuro di avere le basi necessarie per affrontare questi esercizi?
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