Integrale con sostituzioni "strane"...

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Non capisco come calcola il seguente volume.
Sia \( K \) il volume quadrimensionale della regione \( (\alpha,\beta,\gamma,\delta) \in \mathbb{R}^4 \) definita da \( \alpha > 0 \) e da
\[ \left| \beta \gamma - 9 \alpha \delta \right| < \beta^2 - 3 \alpha \gamma < \gamma^2 - 3 \beta \delta \ \ \ \ (1.0) \]
e
\[ 4(\beta^2 -3 \alpha \gamma)(\gamma^2-3 \beta \delta) - (\beta \gamma - 9 \alpha \delta)^2 < 1 \ \ \ \ (2.0)\]

In particolare non capisco come fa a pensare a queste sostituzioni? C'è una logica dietro? A me non sarebbe mai venuto in mente di fare queste sostituzioni!!
Poi non capisco un paio di cosette
1) Come fa a dire all'inizio che \(K \) è uguale a \(2/9 \) del volume di quel integrale quadruplo ?
2) Non capisco la costante alla fine quando mi dice che somma \(K_1 + K_2 \) a me viene \( 6/9 \) e non \(4/9 \). Infatti dovrebbe essere (stando a quanto dice)
\[ K_1 + K_2 = \frac{3}{9} \int \int \int \int \frac{ T dT d\theta dv d w}{\theta(v^2 + 1 - vw) } + \frac{3}{9} \int \int \int \int \frac{ T dT d\theta dv d w}{\theta(v^2 + 1 + vw) } \]
\[ = \frac{3}{9} \int \int \int \int \frac{ T(v^2+1 - vw) + T(v^2+1 +vw) dT d\theta dv d w}{\theta(v^2 + 1 - vw)(v^2+1 + vw) } \]
\[= \frac{6}{9} \int \int \int \int \frac{ T(v^2+1) dT d\theta dv d w}{\theta(v^2 + 1 - vw)(v^2+1 + vw) } \]



Soluzione

Abbiamo che \( \alpha , \delta \) nelle due disuguaglianze (1.0) e (2.0) possono essere rimpiazzati da \( \alpha/3 \) e \( \delta/3 \). Osserviamo che \( K \) è \( 2/9 \) del volume della regione definita da
\( \alpha > 0 \), \( 0 < \beta \gamma - \alpha \delta < \beta^2 - \alpha \gamma < \gamma^2 - \beta \delta) \)
e
\[ 4(\beta^2 - \alpha \gamma)(\gamma^2- \beta \delta) - (\beta \gamma - \alpha \delta)^2 < 1 \]
scriviamo per semplicità \( P = \beta^2 - \alpha \gamma \), \( Q= \beta \gamma- \alpha \delta \) e \( R=\gamma^2-\beta\delta \). Ora c'è una corrispondenza biunivoca tra \( \delta \) e \(R\), quando \( \beta \) e \( \gamma \) sono fissati e \( d \delta/dR = - \beta^{-1} \). C'è anche corrispondenza biunivoca tra \( \gamma \) e \( P \) quando \( \alpha \) e \( \beta \) sono fissati e \( d\gamma / dP = - \alpha^{-1}\) pertanto
\[ K = \frac{2}{9} \int \int \int \int \alpha^{-1} \left| \beta \right|^{-1} d \alpha d \beta d P d R \]
e l'integrazione è estesa sulla regione (3.0) \( \alpha > 0 \), \( 0 < Q < P < R \) e \( 4PR-Q^2 < 1 \). Qui \(Q\) dev'essere visto come una funzione di \( \alpha, \beta, P , R \) e la sua espressione in questa forma è
\[ Q = P \beta \alpha^{-1} + R \alpha \beta^{-1} - P^2 \alpha^{-1} \beta^{-1} \]
dividiamo \( K \) in \(K_1 \) e \( K_2 \), rispettivamente quando \( \beta > 0 \) e \( \beta < 0 \). Scriviamo quindi
\[ \alpha = \xi^{-1/2} \eta^{-1/2} , \beta = \xi^{-1/2} \eta^{1/2} \]
otteniamo quindi
\[ K_1 = \frac{1}{9} \int \int \int \int \xi^{-1} \eta^{-1} d \xi d\eta dP d R \]
dove l'integrazione è sui positivi \( \xi, \eta, P, R \) che soddisfano \((3.0) \) e adesso
\[ Q = P \eta + R \eta^{-1} - P^2 \xi \]
per semplificare ulteriormente trasformiamo \( \xi, \eta, P, R \) in \( T, \theta, u v \) dove
\[ \xi = T^{-1} \theta^{-2} u, \eta = \theta^{-1} v, P=T\theta, R = T \theta^{-1} \]
e otteniamo
\[ K_1 = \frac{2}{9} \int \int \int \int T \theta^{-1} u^{-1} v^{- 1} dT d\theta du dv \]
sulla regione di \( T, \theta, u,v \) positivi che soddisfano
\[ 0 < v + v^{ -1} - u < \theta < 1 \]
\[ 4T^2- T^2 ( v + v^{-1} - u)^2 < 1 \]
scriviamo \( u = v + v^{-1} - w \) e abbiamo
\[ K_1 = \frac{3}{9} \int \int \int \int \frac{ T dT d\theta dv d w}{\theta(v^2 + 1 - vw) } \]
esteso su
\[ 0 < w < \theta < 1, T^2 < (4- w^2)^{-1}, T >0 , v > 0 \]
la condizione \( u > 0 \) è necessariamente soddisfatta siccome \(w < 1 \) e \( v+ v^{-1} \geq 2 \).
Similmente trattiamo \( K_2 \) scrivendo \( \beta = - \xi^{-1/2} \eta^{1/2} \). La formula finale differisce solamente nel segno di \(w\) a denominatore. Addizionando le due formule otteniamo quindi
\[ K = \frac{4}{9} \int \int \int \int \frac{T(v^2+1) dT d\theta dv dw}{\theta( (v^2+1)^2 - v^2w^2 )} \]
integrando su \(v \) da \(0 \) a \( \infty \) otteniamo
\[ \int_0^{\infty} \frac{ (v^2+1 )dv}{(v^2+1)^2 -v^2w^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+4-w^2} = \frac{\pi}{\sqrt{4-w^2} } \]
usando la sostituzione \(v-v^{-1} = x \). Integrando su \(T\) abbiamo
\[ \int_0^{ \frac{\pi}{\sqrt{4-w^2} }} T dT = \frac{1}{2} (4- w^2)^{-1} \]
Quindi
\[ K = \frac{2\pi}{9} \int_0^1 \frac{d \theta}{\theta} \int_0^{\theta} \frac{dw}{(4-w^2)^{3/2}} \]
scrivendo \( \theta = 2 \sin \phi \) e \( w = 2 \sin \psi \) otteniamo
\[ K= \frac{2 \pi}{9} \int_0^{\pi/6} \cot \phi d \phi \int_{0}^{\phi} \frac{1}{4} \sec^2 \psi d \psi = \frac{\pi^2}{108} \]

[Quinzio]

\[ \left| \beta \gamma - \alpha \delta \right| < \beta^2 - \alpha \gamma < \gamma^2 - \beta \delta \ \ \ \ (1.0) \]

\[ \beta \gamma - \alpha \delta < \beta^2 - \alpha \gamma < \gamma^2 - \beta \delta \ \ \ \ (1.1) \]

E' corretto che il volume della 1.0 sia il doppio di quella della 1.1
Prendi un punto $A = (\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (a, b, c, d)$.
$A$ deve soddisfare $\beta\gamma - \alpha\delta$.
Per ogni $A$ si puo' individuare un punto $B = (-a, b, -c, d)$.
Nota che $\alpha$ e $\gamma$ hanno cambiato di segno.
I due punti sono in qualche modo simmetrici rispetto al "piano" $\beta = \gamma = 0$, se vuoi.
L'importante e' vedere che per ogni punto $A$ esiste un punto $B$.
Ora, sia $A$ che $B$ soddisfano la 1.0 infatti $|bc - ad| = |-bc +ad|$ a causa del modulo,
e $b^2 - ac = b^2 - (-a)(-c)$
e $c^2 - bd = (-c)^2 - bd$.
Invece solo uno dei due punti tra $A$ e $B$ soddisfa la 1.1, in quanto per uno dei due punti vale $bc - ad < 0$, e l'altro invece la soddisfa con $bc - ad > 0$, (o viceversa).

Quindi e' corretto che la 1.0 individui un volume doppio della 1.1

Per quanto riguarda l'altra domanda, e' possibile che sia solo un errore tipografico, ovvero che il $3/9$ deve essere un $2/9$.
Infatti se fosse davvero un $3/9$ non l'avrebbero semplificato a $1/3$ ?
Non ho controllato bene bene tutti i passaggi, ma mi "puzza" di errore tipografico.
Inoltre sarebbe una bella cosa verificare che tutti gli jacobiani dell'integrale sia stati tenuti in conto.
Ovviamente lo svolgimento sara' sicuramente corretto (a parte quel $3/9$), ma come esercizio sarebbe utile verificare anche gli jacobiani.

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Effettivamente è un errore tipografico, i determinanti in modulo delle jacobiane sono rispettivamente \( \frac{1}{2} \xi^{-2} \eta^{-1} \), \( 2 \theta^{-4} \) e \( 1 \), quindi all'ultimo passaggio rimane un \(2/9 \)

[gugo82]

Perché quella robaccia lì con 4 parametri mi ricorda molto il discriminante di un polinomio di secondo grado?
Da dove esce il problema? (Così, tanto per curiosità...)

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Te lo ricorda perché è il discriminante di una forma binaria quadratica (polinomi omogenei in due variabili di grado due) a tutti gli effetti! Il problema esce da un paper che mi serve per la mia tesi, infatti ho bisogno di contare il numero delle classi di equivalenza di forme binarie cubiche a coefficienti interi con discriminante dato, contarle asintoticamente facendo variare il discriminante. Ora tutte le forme cubiche sono propriamente equivalenti ad una forma la cui Hessiane (è una forma binaria quadratica) è ridotta, e due forme cubiche equivalenti hanno Hessiane equivalenti e quindi identiche poiché ogni forma quadratica definita positiva è equivalente ad un unica forma ridotta. Inoltre poiché le uniche sostituzioni che trasformano due forme ridotte sono \(x=x' \) e \( y=y' \) e \( x=-x' \) e \( y= -y' \) (a parte alcune eccezioni) allora due forme cubiche ridotte devono essere o identiche o identicamente opposte (a parte alcune eccezioni), dunque facendo variare il discriminante tra 0 e \(-X/3\) posso contare le classi di equivalenza contando le Hessiane ridotte con discriminante tra \(0\) e \( X \) e questo si trasforma in contare fondamentalmente il numero di punti di un reticolo che sta in una certa regione di \( \mathbb{R}^4 \). Se questa regione \(R\) è limitata sappiamo che il numero di punti del reticolo interni alla regione è dato dal volume \(V\) della regione \(R\) più un termine d'errore che si comporta come un O-grande del massimo dei volumi della regione proiettata (il massimo è preso sulle proiezioni). Siccome la regione che ho io \(R' \) non è limitata basta "renderla" limitata chiedendo che \( \alpha \geq X^{\eta} \), per un certo \( \eta \) scelto in modo tale che \( V' - V \) si comporta esattamente come un O-grande dello stesso errore precedente, dove \( V' \) qui è il volume di \(R' \). E poiché \( V' = K X \), dove \(K\) è come nella domanda che ho fatto, allora per contare quello che voglio mi basta calcolare il volume di questa regione e aggiungerci \(O\)-grande.

Mi sono reso conto che forse non volevi una risposta così dettagliata alla domanda "Da dove esce il problema?" ma tant'è l'ho scritta oramai.

[gugo82]

Grazie... Fa piacere non aver perso del tutto l'occhio per certe cose.

E comunque i conti fanno davvero schifo.