Integrale con residui

[FabioA_97]

salve, nella risoluzione di questi due integrali non capisco perché nel primo caso devo utilizzare il circuito di integrazione A(vedi foto) mentre nel secondo caso devo utilizzare il circuito B(vedi foto):

$ int_(0)^(+oo) sqrt(x)/(x^2+4)dx $ (circuito A)

$ int_(0)^(+oo) dx/(sqrt(x)(x^2+1)) $ (circuito B)

non capisco perche nel primo integrale ho dovuto usare un circuito di quella forma, mentre nel B ha una forma diversa

[Studente Anonimo]

Veramente, anche il primo integrale si può calcolare con il secondo cammino:

$\int_{-R}^{-r}sqrtx/(x^2+4)dx+\int_{\Gamma_r}sqrtz/(z^2+4)dz+\int_{r}^{R}sqrtx/(x^2+4)dx+\int_{\Gamma_R}sqrtz/(z^2+4)dz=2\piiRes(sqrtz/(z^2+4),2i) rarr$

$rarr \int_{-R}^{-r}(isqrt(-x))/(x^2+4)dx+\int_{\Gamma_r}sqrtz/(z^2+4)dz+\int_{r}^{R}sqrtx/(x^2+4)dx+\int_{\Gamma_R}sqrtz/(z^2+4)dz=2\piiRes(sqrtz/(z^2+4),2i) rarr$

$rarr \int_{r}^{R}(isqrtx)/(x^2+4)dx+\int_{\Gamma_r}sqrtz/(z^2+4)dz+\int_{r}^{R}sqrtx/(x^2+4)dx+\int_{\Gamma_R}sqrtz/(z^2+4)dz=2\piiRes(sqrtz/(z^2+4),2i) rarr$

$rarr \int_{r}^{R}((1+i)sqrtx)/(x^2+4)dx+\int_{\Gamma_r}sqrtz/(z^2+4)dz+\int_{\Gamma_R}sqrtz/(z^2+4)dz=2\piiRes(sqrtz/(z^2+4),2i)$

Infine, passando al limite e applicando i lemmi del piccolo e del grande cerchio:

$\int_{0}^{+oo}sqrtx/(x^2+4)dx=(2\pii)/(1+i)Res(sqrtz/(z^2+4),2i)=(2\pii)/(1+i)sqrt(2i)/(4i)=(2\pii)/(1+i)(1+i)/(4i)=\pi/2$

A questo punto, sarebbe istruttivo provare a calcolare il secondo integrale con il primo cammino.

[FabioA_97]

ma per poter applicare i lemmi di Jordan per il piccolo e grande cerchio non dovrebbe esserci un fattore esponenziale?
per quanto riguarda il semicerchio EFA, sarebbe cambiato qualcosa se avessi preso la semicirconferenza inferiore in modo da includere l'origine nel mio circuito?(mi riferisco alla risoluzione dell'integrale da te svolte con circuito B)

[Studente Anonimo]

"FabioA_97":
... per poter applicare i lemmi di Jordan ...

Esiste un solo lemma di Jordan. Per questo motivo, il suo nome non comprende riferimenti alle caratteristiche del cerchio. Ad ogni modo, nel messaggio precedente mi riferivo ai due lemmi sottostanti:

"FabioA_97":
... sarebbe cambiato qualcosa ...

Poiché l'origine è un punto regolare, non cambia assolutamente nulla.