Integrale con residui
Buongiorno.
Ho un problema con questo integrale:
$\int_{-infty}^{+infty} (1-cos(2 pi x)) /((x^4-1)^2) $
Ho considerato la funzione ausiliaria $f(z) = (1-e^(2 pi i z)) /((z^4-1)^2) $ perché in un esempio ho letto che, in questo modo, con quella sostituzione, "per z reale l'integrando è la parte reale di f(x)", anche se io avevo pensato che fosse la parte reale di f(z).
Ho classificato le singolarità della funzione integranda, individuato un dominio D e le singolarità che cadono nella regione delimitata dal contorno di integrazione, applicat il teorema dei residui e calcolato i residui che mi interessano ma ho un problema con il residuo all'infinito, non so come calcolarlo.
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo
Ho un problema con questo integrale:
$\int_{-infty}^{+infty} (1-cos(2 pi x)) /((x^4-1)^2) $
Ho considerato la funzione ausiliaria $f(z) = (1-e^(2 pi i z)) /((z^4-1)^2) $ perché in un esempio ho letto che, in questo modo, con quella sostituzione, "per z reale l'integrando è la parte reale di f(x)", anche se io avevo pensato che fosse la parte reale di f(z).
Ho classificato le singolarità della funzione integranda, individuato un dominio D e le singolarità che cadono nella regione delimitata dal contorno di integrazione, applicat il teorema dei residui e calcolato i residui che mi interessano ma ho un problema con il residuo all'infinito, non so come calcolarlo.
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
Il residuo all'infinito non credo ti serva a molto... 
D'altra parte $\infty$ è una singolarità essenziale, quindi il conto diventa problematico.
D'altra parte $\infty$ è una singolarità essenziale, quindi il conto diventa problematico.
Quell'esercizio viene proposto come esempio, ci sono dei cenni di svolgimento nei quali utilizza il residuo all'infinito, dicendo solo che è 0 ma non riesco a capire perché
Quindi?
Sinceramente non capisco quale sia il problema...
Sinceramente non capisco quale sia il problema...
Applicando il teorema dei residui a $f$ sul dominio D, ho:
$\int_{+FD} (1-e^(2 pi i z)) /((z^4-2)^2) = \int_{-r} ^{-1-\epsilon} f(x) dx - \int_{\gamma_\epsilon} f(z) dz + \int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon} f(x) dx - \int_{\gamma'_\epsilon} f(z) dz +\int_{1+\epsilon}^{r} f(x) dx + \int_{\Gamma_r} f(z) dz = 2pi i R $
Passando al limite per $r to infty$ e per $\epsilon to 0^+$, tra i vari limiti da calcolare ho
$lim_(r to +infty) \int_{\Gamma_r} f(z) dz $ che è uguale a $- pi i R[infty] $ ecco perché ho bisogno di calcolare il residuo all'infinito
$\int_{+FD} (1-e^(2 pi i z)) /((z^4-2)^2) = \int_{-r} ^{-1-\epsilon} f(x) dx - \int_{\gamma_\epsilon} f(z) dz + \int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon} f(x) dx - \int_{\gamma'_\epsilon} f(z) dz +\int_{1+\epsilon}^{r} f(x) dx + \int_{\Gamma_r} f(z) dz = 2pi i R $
Passando al limite per $r to infty$ e per $\epsilon to 0^+$, tra i vari limiti da calcolare ho
$lim_(r to +infty) \int_{\Gamma_r} f(z) dz $ che è uguale a $- pi i R[infty] $ ecco perché ho bisogno di calcolare il residuo all'infinito
Il lemma di Jordan "dell'arco grande" ti dice che il limite dell'integrale vale:
\[
\pi \mathbf{i}\ \lim_{|z|\to \infty, \operatorname{Arg} z \in ]0,\pi[} z f(z)\; ,
\]
e non mi pare che questo limite sia difficile da calcolare.
\[
\pi \mathbf{i}\ \lim_{|z|\to \infty, \operatorname{Arg} z \in ]0,\pi[} z f(z)\; ,
\]
e non mi pare che questo limite sia difficile da calcolare.
"Ianya":
tra i vari limiti da calcolare ho
$lim_(r to +infty) \int_{\Gamma_r} f(z) dz $ che è uguale a $- pi i R[infty] $ ecco perché ho bisogno di calcolare il residuo all'infinito
what?!
Ti do un aiutino..Innanzitutto l'integranda \(\displaystyle f(x) \) è pari e sommabile (di conseguenza l'integrale esiste finito). L'estensione al campo complesso da considerare è (come hai detto) :
\(\displaystyle f(z) := \frac{1-e^{2\pi\;i\;z}}{(z^4-1)^2} : \mathbb{C} - \{\pm i \;;\;\pm 1\} \rightarrow \mathbb{C} \)
dove \(\displaystyle \pm i \;,\;\pm 1 \) sono poli di ordine \(\displaystyle 2 \). Sfruttando il fatto che sia pari possiamo scegliere come dominio di integrazione la semicirconferenza tale che :
\(\displaystyle D = \left\{ z \in \mathbb{C} : I_m(z) \geq 0 \;;\; |z+1|>\delta_1 \;;\; |z-1|>\delta_2 \right\} \)
e fin qui ci sei. Quando applichi i lemmi del piccolo e grande cerchio dovrai andare a calcolare :
\(\displaystyle \lim_{z \to -1} (z+1)\;f(z) = k_{-1} \;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\; \lim_{\delta_1 \to 0} \int_{\Gamma_{\delta_1}} f(z)\;dz = i\pi \cdot k_{-1} \)
\(\displaystyle \lim_{z \to 1} (z-1)\;f(z) = k_1 \;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\; \lim_{\delta_2 \to 0} \int_{\Gamma_{\delta_2}} f(z)\;dz = i\pi \cdot k_1 \)
\(\displaystyle \lim_{z \to \infty} z\;f(z) = \lim_{z \to \infty} z \; \frac{1-e^{2\pi\;i\;z}}{(z^4-1)^2} \sim \lim_{z \to \infty} \frac{1-e^{2\pi\;i\;z}}{z^7} = 0 \;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\; \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_{R}} f(z)\;dz = 0 \)
da qui puoi continuare tu.
Ho un dubbio riguardo il comportamento della funzione esponenziale all'infinito in campo complesso: so che in campo reale, tende a zero se $ x to - infty$ e a $+infty$ per $ x to + infty$; in campo complesso, per quanto riguarda il limite per $ z to infty $, considero lo sviluppo in serie?
"Oiram92":
what?!
Si ricava a partire dal Lemma del grande cerchio
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