Integrale con metodo dei residui
Buonasera a tutti,
Starei provando a calcolare il seguente integrale con il metodo dei residui di una funzione olomorfa su cammino chiuso :
$\int 1/(4+cos(t)) dt$ in $[0,2pi]$
Il punto è che sono arrugginito nel calcolo complesso di base e mi risulta che non vi siano punti di singolarità ma non sono assolutamente sicuro della cosa.
Qualcuno potrebbe indicarmi come procedere ?
Grazie e buona serata
Starei provando a calcolare il seguente integrale con il metodo dei residui di una funzione olomorfa su cammino chiuso :
$\int 1/(4+cos(t)) dt$ in $[0,2pi]$
Il punto è che sono arrugginito nel calcolo complesso di base e mi risulta che non vi siano punti di singolarità ma non sono assolutamente sicuro della cosa.
Qualcuno potrebbe indicarmi come procedere ?
Grazie e buona serata
Risposte
Ciao frat92ds,
L'integrale proposto è il seguente:
$I = \int_0^{2\pi} 1/(4 + cos(t)) \text{d}t $
Posto $z = e^{it} \implies \text{d}t = - i (\text{d}z)/z $, si ha:
$I = - i \oint_{|z| = 1} 1/(4 + 1/2(z + 1/z)) (\text{d}z)/z = - 2i \oint_{|z| = 1} 1/(8z + z^2 + 1) \text{d}z = - 2i \oint_{|z| = 1} 1/(z^2 + 8z + 1) \text{d}z $
La funzione integranda è singolare per
$z^2 + 8z + 1 = 0 \implies z_{1,2} = - 4 \pm \sqrt{16 - 1} = - 4 \pm \sqrt{15} $
Il polo semplice in $z_1 = - 4 + \sqrt{15} $ cade all'interno di $|z| = 1 $, mentre $z_2 = - 4 - \sqrt{15} $ è esterno; per il teorema dei residui quindi si ha:
$ I = \int_0^{2\pi} 1/(4 + cos(t)) \text{d}t = 4\pi [\text{Res} 1/((z - z_1)(z - z_2))]_{z = z_1} = 4 \pi \lim_{z \to \z_1} 1/(z - z_2) = 4\pi \cdot 1/(2\sqrt{15}) = (2\pi)/\sqrt{15} $
Più in generale, dato $a > |b| $ dovresti riuscire a dimostrare che si ha:
$\int_0^{2\pi} 1/(a + b cos(t)) \text{d}t = (2\pi)/\sqrt{a^2 - b^2}$
Nel caso particolare $a = 4 $ e $b = 1 $ si ottiene l'integrale proposto.
L'integrale proposto è il seguente:
$I = \int_0^{2\pi} 1/(4 + cos(t)) \text{d}t $
Posto $z = e^{it} \implies \text{d}t = - i (\text{d}z)/z $, si ha:
$I = - i \oint_{|z| = 1} 1/(4 + 1/2(z + 1/z)) (\text{d}z)/z = - 2i \oint_{|z| = 1} 1/(8z + z^2 + 1) \text{d}z = - 2i \oint_{|z| = 1} 1/(z^2 + 8z + 1) \text{d}z $
La funzione integranda è singolare per
$z^2 + 8z + 1 = 0 \implies z_{1,2} = - 4 \pm \sqrt{16 - 1} = - 4 \pm \sqrt{15} $
Il polo semplice in $z_1 = - 4 + \sqrt{15} $ cade all'interno di $|z| = 1 $, mentre $z_2 = - 4 - \sqrt{15} $ è esterno; per il teorema dei residui quindi si ha:
$ I = \int_0^{2\pi} 1/(4 + cos(t)) \text{d}t = 4\pi [\text{Res} 1/((z - z_1)(z - z_2))]_{z = z_1} = 4 \pi \lim_{z \to \z_1} 1/(z - z_2) = 4\pi \cdot 1/(2\sqrt{15}) = (2\pi)/\sqrt{15} $
Più in generale, dato $a > |b| $ dovresti riuscire a dimostrare che si ha:
$\int_0^{2\pi} 1/(a + b cos(t)) \text{d}t = (2\pi)/\sqrt{a^2 - b^2}$
Nel caso particolare $a = 4 $ e $b = 1 $ si ottiene l'integrale proposto.
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