Integrale con il teorema dei residui
Sto provando ad utilizzare il teorema dei residui per calcolare l'integrale:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} e^{-2\pi i x \xi } dx$$
con $\xi \in \mathbb{R}$.
Per applicare tale teorema considero la curva formata dal segmento $\left[-R;R\right]$ e la semicirconferenza superiore $\Gamma_R$, con centro nell'origine e raggio $R$.
Devo quindi mostrare, come si fa usualmente, che l'integrale su $\Gamma_R$ tende a $0$ se $R$ tende all'infinito. In questo modo riesco ad esplicitare il valore dell'integrale sopra, utilizzando la formula dei residui.
La mia difficoltà sta proprio nel mostrare che l'integrale
$$\int_{\Gamma_R} \frac{1}{1+z^2} e^{-2\pi i z \xi }dz$$ tende a $0$ se $R$ tende all'infinito..
Ho provato a porre $z=R \e^{i\theta}$ ma non sono riuscito a trovare una stima utile.
Potete darmi un suggerimento?
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} e^{-2\pi i x \xi } dx$$
con $\xi \in \mathbb{R}$.
Per applicare tale teorema considero la curva formata dal segmento $\left[-R;R\right]$ e la semicirconferenza superiore $\Gamma_R$, con centro nell'origine e raggio $R$.
Devo quindi mostrare, come si fa usualmente, che l'integrale su $\Gamma_R$ tende a $0$ se $R$ tende all'infinito. In questo modo riesco ad esplicitare il valore dell'integrale sopra, utilizzando la formula dei residui.
La mia difficoltà sta proprio nel mostrare che l'integrale
$$\int_{\Gamma_R} \frac{1}{1+z^2} e^{-2\pi i z \xi }dz$$ tende a $0$ se $R$ tende all'infinito..
Ho provato a porre $z=R \e^{i\theta}$ ma non sono riuscito a trovare una stima utile.
Potete darmi un suggerimento?
Risposte
Dividi i caso in cui \( \xi < 0 \) e integrando su \( \Gamma_R \) e il caso in cui \( \xi > 0 \) e integra su \( \Gamma_R^- \), dove intendo la semicirconferenza ma nel semipiano inferiore. Poi utilizza il lemma di Jordan.
Considero $\xi<0$ e provo innanzitutto a stimare il termine $\frac{1}{1+R^2 e^{i2\theta}$, con $\theta \in [0, \pi]$.
Ottengo
$$|1+R^2 e^{i2\theta}| \leq 1 + R^2,$$
tuttavia a me servirebbe una maggiorazione, dal momento che il termine è al denominatore.
Ottengo
$$|1+R^2 e^{i2\theta}| \leq 1 + R^2,$$
tuttavia a me servirebbe una maggiorazione, dal momento che il termine è al denominatore.
\[ \left| \frac{1}{1+z^2} \right| = o ( \left| 1/z \right| ) \]
Infatti \[ \lim_{\left| z \right| \to \infty} \frac{ \left| z \right|}{ \left| 1 + z^2 \right| } = 0 \]
Pertanto se \( \xi > 0 \) hai che
\[ \left| \frac{e^{- 2 \pi i z \xi }}{1+z^2} \right| = e^{2 \pi \xi \Im (z) } \left| \frac{1 }{1+z^2} \right| \leq \left| \frac{1 }{1+z^2} \right| \]
Dove con \( \Im(z) \) intendo la parte immaginaria, e nota che siccome stai integrando su \( \Gamma_R^{-} \) essa è negativa.
Edit: Che è essenzialmente il motivo per cui sul semicerchio inferiore l'integrale va a zero.
Ora hai la tua maggiorazione della funzione \( \left| \frac{1}{1+z^2} \right| \) quando il modulo di \( \left| z \right| \) va ad infinito, e puoi concludere grazie a Jordan che l'integrale sul semicerchio inferiore va a zero, in modo analogo anche per quello superiore. Ora sempre dividendo i due casi \( \xi >0 \) e \( \xi < 0 \) prova ad usare il teorema dei residui.
Infatti \[ \lim_{\left| z \right| \to \infty} \frac{ \left| z \right|}{ \left| 1 + z^2 \right| } = 0 \]
Pertanto se \( \xi > 0 \) hai che
\[ \left| \frac{e^{- 2 \pi i z \xi }}{1+z^2} \right| = e^{2 \pi \xi \Im (z) } \left| \frac{1 }{1+z^2} \right| \leq \left| \frac{1 }{1+z^2} \right| \]
Dove con \( \Im(z) \) intendo la parte immaginaria, e nota che siccome stai integrando su \( \Gamma_R^{-} \) essa è negativa.
Edit: Che è essenzialmente il motivo per cui sul semicerchio inferiore l'integrale va a zero.
Ora hai la tua maggiorazione della funzione \( \left| \frac{1}{1+z^2} \right| \) quando il modulo di \( \left| z \right| \) va ad infinito, e puoi concludere grazie a Jordan che l'integrale sul semicerchio inferiore va a zero, in modo analogo anche per quello superiore. Ora sempre dividendo i due casi \( \xi >0 \) e \( \xi < 0 \) prova ad usare il teorema dei residui.
Ti ringrazio molto per i dettagli.
Non mi è ancora chiaro, però, come hai effettuato esplicitamente la stima su $e^{-2\pi i z \xi}$.
Non mi è ancora chiaro, però, come hai effettuato esplicitamente la stima su $e^{-2\pi i z \xi}$.
Intendi questo passaggio?
Non è una stima è proprio il suo modulo.
\[ \left| \frac{e^{- 2 \pi i z \xi }}{1+z^2} \right| = \left| e^{- 2 \pi i z \xi } \right| \left| \frac{1}{1+z^2} \right| =e^{2 \pi \xi \Im (z) } \left| \frac{1 }{1+z^2} \right| \]
Ora hai che \( z = x + i y \) per qualche \( x, y \in \mathbb{R} \).
In linea di massima hai che \[ \left| e^{x + i y } \right| =\left| e^x e^{iy}\right| = \left| e^x \right| \left| e^{iy} \right| \]
Ora hai che siccome \( y \in \mathbb{R} \) allora abbiamo che \( e^{iy } \) è un punto della circonferenza unitaria in \( \mathbb{C} \) dunque il suo modulo è sempre 1. Pertanto ti rimane
\[ \left| e^{z} \right| = e^{\Re(z) } \]
dove con \( \Re \) intendo la parte reale
Tu hai ad esponente \( - 2 \pi i \xi z = - 2 \pi i \xi (x + iy) = 2 \pi \xi ( -ix + y ) \) e dunque vedi subito che la parte reale di \( \Re( 2 \pi \xi ( -ix + y )) = 2 \pi \xi \Im (z) \).
Edit:
Ad ogni modo a meno che non vuoi dimostrare il lemma di Jordan non ti serve saperlo. Infatti in linea generale se hai un integrale
\[ \int_{\Gamma_R} f(z) e^{ i \omega z} dz \]
Se hai che \( \left| f(z) \right| = o ( \left| 1/z \right|) \) allora automaticamente che con \( \omega > 0 \)
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R} f(z) e^{ i \omega z} dz = 0\]
e con \( \omega < 0 \)
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R^{-}} f(z) e^{ i \omega z} dz = 0\]
Nel tuo caso \( f(z) = \frac{1}{1+z^2} \) e \( \omega = - 2 \pi \xi \), ma nel tuo caso hai che se \( \xi < 0\) allora ti riconduci al caso del lemma di Jordan, ma con \( \xi > 0 \) devi integrare sul semicerchio inferiore.
"3m0o":
\[ \left| \frac{e^{- 2 \pi i z \xi }}{1+z^2} \right| = e^{2 \pi \xi \Im (z) } \left| \frac{1 }{1+z^2} \right| \]
Non è una stima è proprio il suo modulo.
\[ \left| \frac{e^{- 2 \pi i z \xi }}{1+z^2} \right| = \left| e^{- 2 \pi i z \xi } \right| \left| \frac{1}{1+z^2} \right| =e^{2 \pi \xi \Im (z) } \left| \frac{1 }{1+z^2} \right| \]
Ora hai che \( z = x + i y \) per qualche \( x, y \in \mathbb{R} \).
In linea di massima hai che \[ \left| e^{x + i y } \right| =\left| e^x e^{iy}\right| = \left| e^x \right| \left| e^{iy} \right| \]
Ora hai che siccome \( y \in \mathbb{R} \) allora abbiamo che \( e^{iy } \) è un punto della circonferenza unitaria in \( \mathbb{C} \) dunque il suo modulo è sempre 1. Pertanto ti rimane
\[ \left| e^{z} \right| = e^{\Re(z) } \]
dove con \( \Re \) intendo la parte reale
Tu hai ad esponente \( - 2 \pi i \xi z = - 2 \pi i \xi (x + iy) = 2 \pi \xi ( -ix + y ) \) e dunque vedi subito che la parte reale di \( \Re( 2 \pi \xi ( -ix + y )) = 2 \pi \xi \Im (z) \).
Edit:
Ad ogni modo a meno che non vuoi dimostrare il lemma di Jordan non ti serve saperlo. Infatti in linea generale se hai un integrale
\[ \int_{\Gamma_R} f(z) e^{ i \omega z} dz \]
Se hai che \( \left| f(z) \right| = o ( \left| 1/z \right|) \) allora automaticamente che con \( \omega > 0 \)
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R} f(z) e^{ i \omega z} dz = 0\]
e con \( \omega < 0 \)
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R^{-}} f(z) e^{ i \omega z} dz = 0\]
Nel tuo caso \( f(z) = \frac{1}{1+z^2} \) e \( \omega = - 2 \pi \xi \), ma nel tuo caso hai che se \( \xi < 0\) allora ti riconduci al caso del lemma di Jordan, ma con \( \xi > 0 \) devi integrare sul semicerchio inferiore.
Ora è tutto chiaro.
Grazie dell'intervento molto preciso e dettagliato!
Grazie dell'intervento molto preciso e dettagliato!
Ho aggiunto un edit in fondo alla risposta precedente 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo