Integrale con il teorema dei residui

[maschinna]

Salve a tutti. Vorrei calcolare il seguente integrale $ I=int_(0)^(oo ) x^(1/3) /(x^2-4x+8) dx $ . Con x indicherò un numero reale, mentre con z complesso.
Ho pensato di considerare la funzione $ f(z)=z^(1/3)/(z^2+4z+8) $ e di calcolare il suo integrale lungo una curva illimitata che raggiri il taglio (che ho posto da meno infinito a 0).
Poichè il contributo sulla semicirconferenza infinitesima centrata in zero è nullo, risulta che:
$ oint_(c) z^(1/3)/(z^2+4z+8)= 2 pii(Res(-2+2i)+Res(-2-2i)) $
$ oint_(c) z^(1/3)/(z^2+4z+8)= int_(-oo )^(0) f(z) dz+ int_(0 )^(-oo) f(z) dz $
$ int_(-oo )^(0) f(z) dz =- int_(+oo)^(0) (e^(i pi/3) x^(1/3)) /(x^2-4x+8) dx $ , avendo posto $ z = -x $
Analogamente
$ int_(0)^(-oo) f(z) dz =- int_(0)^(+oo) (e^(-i pi/3) x^(1/3)) /(x^2-4x+8) dx $ .
Unendo
$ I(e^(ipi/3)-e^(-ipi/3))= 2 pii(Res(-2+2i)+Res(-2-2i)) $
Da cui si trova I.
Il risultato non è, però, corretto. Potreste darmi qualche consiglio? Grazie!

[Studente Anonimo]

Non è chiaro se il denominatore è $[x^2-4x+8]$ oppure $[x^2+4x+8]$.

[maschinna]

Risolto, grazie!