Integrale con i residui
Ciao a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi questo passaggio? Ovvero quando fa Res(f(z)), 3i)=1/2e^3 e poi perché il sin lo esplicita come e^iz? (allego foto). Grazie mille
Risposte
Per il residuo, \( 3i \) è un polo semplice. Ora se hai una funzione \(f(z) \) con un polo semplice in \( z_0 \), il residuo in \(z_0 \) lo si calcola così
\[ \lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z) = res(f,z_0) \]
Nel tuo caso devi calcolare il limite
\[ \lim_{z \to z_0} (z-3i)\frac{ze^{iz}}{z^2 + 9}= res(f,3i) = \frac{1}{2e^3} \]
Mentre per l'altro non esplicita \( \sin(x) \) con \(e^{ix} \) ma osserva questa cosa
Hai che per \( x \in \mathbb{R} \) è vero che \( \cos(x)+ i \sin(x) = e^{i x} \)
Ora hai che
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac{xe^{ix}}{x^2+9}dz = \frac{i \pi}{e^3} \]
Pertanto
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac{x(\cos(x) + i \sin(x))}{x^2+9} dx = \frac{i \pi}{e^3} \]
Cosa succede se prendi la parte immaginaria di \( \frac{i \pi}{e^3} \) ?
Cosa succede se prendi la parte immaginaria di \( \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac{x(\cos(x) + i \sin(x))}{x^2+9} dx \) ?
\[ \lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z) = res(f,z_0) \]
Nel tuo caso devi calcolare il limite
\[ \lim_{z \to z_0} (z-3i)\frac{ze^{iz}}{z^2 + 9}= res(f,3i) = \frac{1}{2e^3} \]
Mentre per l'altro non esplicita \( \sin(x) \) con \(e^{ix} \) ma osserva questa cosa
Hai che per \( x \in \mathbb{R} \) è vero che \( \cos(x)+ i \sin(x) = e^{i x} \)
Ora hai che
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac{xe^{ix}}{x^2+9}dz = \frac{i \pi}{e^3} \]
Pertanto
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac{x(\cos(x) + i \sin(x))}{x^2+9} dx = \frac{i \pi}{e^3} \]
Cosa succede se prendi la parte immaginaria di \( \frac{i \pi}{e^3} \) ?
Cosa succede se prendi la parte immaginaria di \( \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac{x(\cos(x) + i \sin(x))}{x^2+9} dx \) ?
@3m0o: 
Inoltre, l'integrale di \(\frac{x\cos x}{1+x^2}\) è ovviamente nullo, per simmetria.
Inoltre, l'integrale di \(\frac{x\cos x}{1+x^2}\) è ovviamente nullo, per simmetria.
Grazie mille per la risposta. Potresti mostrarmi i passaggi per risolvere il limite? Quando faccio limite di z -> 3i il primo membro non si annulla? Quindi non è zero il risultato di questo limite? Sono i primissimi esercizi che faccio in campo complesso, quindi ho ancora molti dubbi
Ciao antor,
No, perché il primo fattore $(z - 3i) $ si semplifica col denominatore: infatti osserva che $z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i) $
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \sin x}{x^2+9}\text{d}x = \frac{\pi}{e^3}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \cos x}{x^2+9}\text{d}x = 0}
\end{equation*}
"antor":
Potresti mostrarmi i passaggi per risolvere il limite? Quando faccio limite di z -> 3i il primo membro non si annulla? Quindi non è zero il risultato di questo limite?
No, perché il primo fattore $(z - 3i) $ si semplifica col denominatore: infatti osserva che $z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i) $
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \sin x}{x^2+9}\text{d}x = \frac{\pi}{e^3}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \cos x}{x^2+9}\text{d}x = 0}
\end{equation*}
Giusto, grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo