Integrale con funzione Gamma
Salve,
sto cercando di risolvere il seguente integrale:
\[
\beta_{\omega\omega'}=\frac{1}{4\pi\sqrt{\omega\omega'}}\,\int_{-\infty}^\infty\,du\, \exp\left[-i\,\omega\,u+i\frac{\omega'}{\kappa}e^{-\kappa u}\right]\,\left(\omega'\,e^{-\kappa u}-\omega\right)
\]
il cui risultato è noto:
\[
\beta_{\omega\omega'}=\frac{1}{4\pi\sqrt{\omega\omega'}}\,\left[-\frac{2\omega}{\kappa}\,e^{-\pi\omega/2\kappa}\,\left(\frac{\omega'}{\kappa}\right)^{-i\omega/\kappa}\,\Gamma\left[\frac{i\omega}{\kappa}\right]\right]
\]
Avendo necessità di risolvere un integrale simile, vorrei capire il procedimento per passare dalla prima alla seconda.
Sinceramente non so dove mettere le mani. Ho pensato di fare un integrale sul piano complesso, ma l'unico polo che vedo è per $u=-\infty$ e non mi sembra che il metodo dei residui sia di particolare utilità.
Ho provato a spezzare l'integrale separando il termine $(\omega e^{-\kappa u}-\omega)$. Ho provato a valutare un'integrazione per parti nei termini così ottenuti, ma senza cavarne un ragno dal buco.
Ho provato a seguire il procedimento inverso, partendo dal risultato ed esplicitando la funzione Gamma, sperando di ottenere un'intuizione. Non è stato così.
Vi sarei molto grato se voi riusciste almeno ad indicarmi la strada perché io non riesco a vederla.
Grazie per l'attenzione
sto cercando di risolvere il seguente integrale:
\[
\beta_{\omega\omega'}=\frac{1}{4\pi\sqrt{\omega\omega'}}\,\int_{-\infty}^\infty\,du\, \exp\left[-i\,\omega\,u+i\frac{\omega'}{\kappa}e^{-\kappa u}\right]\,\left(\omega'\,e^{-\kappa u}-\omega\right)
\]
il cui risultato è noto:
\[
\beta_{\omega\omega'}=\frac{1}{4\pi\sqrt{\omega\omega'}}\,\left[-\frac{2\omega}{\kappa}\,e^{-\pi\omega/2\kappa}\,\left(\frac{\omega'}{\kappa}\right)^{-i\omega/\kappa}\,\Gamma\left[\frac{i\omega}{\kappa}\right]\right]
\]
Avendo necessità di risolvere un integrale simile, vorrei capire il procedimento per passare dalla prima alla seconda.
Sinceramente non so dove mettere le mani. Ho pensato di fare un integrale sul piano complesso, ma l'unico polo che vedo è per $u=-\infty$ e non mi sembra che il metodo dei residui sia di particolare utilità.
Ho provato a spezzare l'integrale separando il termine $(\omega e^{-\kappa u}-\omega)$. Ho provato a valutare un'integrazione per parti nei termini così ottenuti, ma senza cavarne un ragno dal buco.
Ho provato a seguire il procedimento inverso, partendo dal risultato ed esplicitando la funzione Gamma, sperando di ottenere un'intuizione. Non è stato così.
Vi sarei molto grato se voi riusciste almeno ad indicarmi la strada perché io non riesco a vederla.
Grazie per l'attenzione
Risposte
Non faccio più questi conti da un po'... Tuttavia, potrebbero essere stati usati vari trucchi, tipo le varie definizioni equivalenti della $Gamma$ o gli sviluppi in serie, senza passare direttamente per il calcolo esplicito.
Tante volte integrali simili sono già calcolati: potresti buttare un occhio al tomo di Gradshteyn & Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products.
Tante volte integrali simili sono già calcolati: potresti buttare un occhio al tomo di Gradshteyn & Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products.
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