Integrale con formule di Cauchy, dubbio sulla risoluzione
Ciao a tutti,
ho un problema con un integrale da risolvere espressamente con le formule di Cauchy.
Si tratta dell'integrale di cos(z)/z^6 sul dominio IzI=1.. quindi circonferenza di centro 0 e raggio 1.
Ecco il mio procedimentoi:
1)calcolo le singolarità..in questo caso la singolarità è z=0
2)Vedo che tipo di singolarità è...è un polo
3)veco che ordine ha questo polo..ordine 6
(giusto?)
La singolarità appartiene al dominio, utilizzo la formula di Cauchy:
https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_i ... _di_Cauchy ho utilizzato quella che sta sotto la voce APPLICAZIONI- DERIVATE, considerando n=5.
Dovrei dunque calcolare la derivata 5 della funzione...valutarla nel punto z=0 e procedere con i calcoli.
Mi chiedo: il mio procedimento è corretto?
Perchè sto ancora al calcolo della derivata terza e sta venendo un calcolo abbastanza lungo
ho paura di aver sbagliato qualcosa..
Giacchè ci sono,ho anche un dubbio teorico.. svolgendo i calcoli per risolvere l'integrale avrei il procedimento che vi allego come immagine:
quindi non avrei l'integrale di f(z) ma di f(z)/z-z0... (con z0= singolarità)
Come procedo per trovare l'integrale di f(z)?
grazie
ho un problema con un integrale da risolvere espressamente con le formule di Cauchy.
Si tratta dell'integrale di cos(z)/z^6 sul dominio IzI=1.. quindi circonferenza di centro 0 e raggio 1.
Ecco il mio procedimentoi:
1)calcolo le singolarità..in questo caso la singolarità è z=0
2)Vedo che tipo di singolarità è...è un polo
3)veco che ordine ha questo polo..ordine 6
(giusto?)
La singolarità appartiene al dominio, utilizzo la formula di Cauchy:
https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_i ... _di_Cauchy ho utilizzato quella che sta sotto la voce APPLICAZIONI- DERIVATE, considerando n=5.
Dovrei dunque calcolare la derivata 5 della funzione...valutarla nel punto z=0 e procedere con i calcoli.
Mi chiedo: il mio procedimento è corretto?
Perchè sto ancora al calcolo della derivata terza e sta venendo un calcolo abbastanza lungo
ho paura di aver sbagliato qualcosa..Giacchè ci sono,ho anche un dubbio teorico.. svolgendo i calcoli per risolvere l'integrale avrei il procedimento che vi allego come immagine:
quindi non avrei l'integrale di f(z) ma di f(z)/z-z0... (con z0= singolarità)
Come procedo per trovare l'integrale di f(z)?
grazie
Risposte
Ciao!
Secondo me devi fare attenzione a definire bene la tua $f$ che non è la funzione $cosz/(z^6)$ ma solo una parte di essa.
Definiamo al volo l'insieme $D={z in CC : |z|<=1} $
Allora $ 0 in D\\partialD$ quindi posso applicare giustamente la formula di Cauchy per le derivate e sappiamo che vale:
$f^((5))(alpha)=(5!)/(2pii) int_(+partialD) f(z)/(z-alpha)^6dz$.
Allora se $alpha=0$ la formula diventa $f^((5))(0)=(5!)/(2pii) int_(+partialD) f(z)/(z^6)dz$.
A questo punto basta che definisci $f(z)=cosz$ ed il gioco è fatto, con pochi conti trovi proprio l'integrale che ti è stato chiesto.
Secondo me devi fare attenzione a definire bene la tua $f$ che non è la funzione $cosz/(z^6)$ ma solo una parte di essa.
Definiamo al volo l'insieme $D={z in CC : |z|<=1} $
Allora $ 0 in D\\partialD$ quindi posso applicare giustamente la formula di Cauchy per le derivate e sappiamo che vale:
$f^((5))(alpha)=(5!)/(2pii) int_(+partialD) f(z)/(z-alpha)^6dz$.
Allora se $alpha=0$ la formula diventa $f^((5))(0)=(5!)/(2pii) int_(+partialD) f(z)/(z^6)dz$.
A questo punto basta che definisci $f(z)=cosz$ ed il gioco è fatto, con pochi conti trovi proprio l'integrale che ti è stato chiesto.
Ps- credo che visto il nuovo ordinamento del forum questo post vada spostato in Analisi superiore!
Ciao, grazie per la risposta...
Ok il prossimo argomento lo posterò sull'altra sezione!
Quindi devo comunque fare la derivata quinta? Viene bruttissima!
Per il dubbio teorico che ho allegato come immagine sai dirmi qualcosa?
Ok il prossimo argomento lo posterò sull'altra sezione!
Quindi devo comunque fare la derivata quinta? Viene bruttissima!
Per il dubbio teorico che ho allegato come immagine sai dirmi qualcosa?
Ah no aspetta, ho capito! Basta definire meglio la funzione f(z)... mi era sfuggita questa parte del messaggio! Grazie!
"WhiteC":
Ciao, grazie per la risposta...
Ok il prossimo argomento lo posterò sull'altra sezione!
Quindi devo comunque fare la derivata quinta? Viene bruttissima!
Per il dubbio teorico che ho allegato come immagine sai dirmi qualcosa?
La derivata quinta la devi fare, però solo di $cosz$ perché poni $f(z)= cosz$ nella formula di Cauchy !
[xdom="Raptorista"]Ciao, sposto la discussione nella nuova sezione di Analisi Superiore, più adatta a questo argomento.
Ti chiedo anche di modificare il messaggio scrivendo l'esercizio a mano anziché mettere la foto della formula, in accordo al regolamento.[/xdom]
Ti chiedo anche di modificare il messaggio scrivendo l'esercizio a mano anziché mettere la foto della formula, in accordo al regolamento.[/xdom]
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