Integrale con delta
Ciao ragazzi ho un integrale da svolgere che ha una delta fastidiosa:
$\int_0^1\delta(1-sum_{i=1}^np_i)dp_1dp_2...dp_n$
Se n=2 lo possiamo ricondurre alla funzione beta $B(1,1)$. In uno spazio a dimensionalità maggiore come si risolve l'integrale? Esiste qualche "semplice" cambio di variabili che non riesco ad individuare per ricondurre l'integrale ad una funziona beta (o gamma?). Avevo pensato di porre intanto $t=sum_{i=1}^{n-1}p_i$ e $p_n=1-t$ ma non saprei come "chiudere" il diffeomorfismo. Oppure che ne pensate di provare a risolvere l'integrale usando la rappresentazione integrale (trasformata) della delta?
Ringrazio tutti per l'aiuto!
$\int_0^1\delta(1-sum_{i=1}^np_i)dp_1dp_2...dp_n$
Se n=2 lo possiamo ricondurre alla funzione beta $B(1,1)$. In uno spazio a dimensionalità maggiore come si risolve l'integrale? Esiste qualche "semplice" cambio di variabili che non riesco ad individuare per ricondurre l'integrale ad una funziona beta (o gamma?). Avevo pensato di porre intanto $t=sum_{i=1}^{n-1}p_i$ e $p_n=1-t$ ma non saprei come "chiudere" il diffeomorfismo. Oppure che ne pensate di provare a risolvere l'integrale usando la rappresentazione integrale (trasformata) della delta?
Ringrazio tutti per l'aiuto!
Risposte
Mmmm ho appena analizzato il caso $n=3$.
Considero l'integrale
$\int_0^1\p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}dp_1dp_2dp_3$
con il vincolo $p_1+p_2+p_3=1$. Ossia usando il vincolo
$\int_0^1\p_1^{n_1}p_2^{n_2}(1-p_1-p_2)^{n_3}dp_1dp_2$
Ponendo $p_1=u$ e $p_2=t-u$ (Jacobiano = 1) l'integrale di cui sopra diventa:
$\int_0^1\dt(1-t)^{n_3}\int_0^1\u^{n_1}(t-u)^{n_2}du$.
Raccogliendo t nel secondo integrale e facendo il cambio di variabile $s=u/t$ l'integrale diventa:
$\int_0^1\dtt^{n_2+n_1+1}(1-t)^{n_3}\int_0^1\s^{n_1}(1-s)^{n_2}du$. I due integrali sono integrali Beta indipendenti che valgono:
$B(n_2+n_1+2,n_3+1)B(n_1+1,n_2+1)$.
Usando la rappresentazione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma abbiamo che l'integrale vale:
$(\Gamma(n_1+1)\Gamma(n_2+1)\Gamma(n_3+1))/(\Gamma(n_1+n_2+n_3+3))$.
Nel nostro caso tutti gli $n_i$ sono nulli e quindi l'integrale vale $1/(\Gamma(3))$. Questo in dimensione 3. In dimensione $D$ presumo valga $1/(\Gamma(D))$. Che dite? Penso di aver fatto un po' di casino con gli estremi di integrazione. Sia t che s sono minori di 1 ma s dipende da t e quindi non potrei più ricondurre alla Beta e ciò sarebbe un grave problema...mmmm....
Considero l'integrale
$\int_0^1\p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}dp_1dp_2dp_3$
con il vincolo $p_1+p_2+p_3=1$. Ossia usando il vincolo
$\int_0^1\p_1^{n_1}p_2^{n_2}(1-p_1-p_2)^{n_3}dp_1dp_2$
Ponendo $p_1=u$ e $p_2=t-u$ (Jacobiano = 1) l'integrale di cui sopra diventa:
$\int_0^1\dt(1-t)^{n_3}\int_0^1\u^{n_1}(t-u)^{n_2}du$.
Raccogliendo t nel secondo integrale e facendo il cambio di variabile $s=u/t$ l'integrale diventa:
$\int_0^1\dtt^{n_2+n_1+1}(1-t)^{n_3}\int_0^1\s^{n_1}(1-s)^{n_2}du$. I due integrali sono integrali Beta indipendenti che valgono:
$B(n_2+n_1+2,n_3+1)B(n_1+1,n_2+1)$.
Usando la rappresentazione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma abbiamo che l'integrale vale:
$(\Gamma(n_1+1)\Gamma(n_2+1)\Gamma(n_3+1))/(\Gamma(n_1+n_2+n_3+3))$.
Nel nostro caso tutti gli $n_i$ sono nulli e quindi l'integrale vale $1/(\Gamma(3))$. Questo in dimensione 3. In dimensione $D$ presumo valga $1/(\Gamma(D))$. Che dite? Penso di aver fatto un po' di casino con gli estremi di integrazione. Sia t che s sono minori di 1 ma s dipende da t e quindi non potrei più ricondurre alla Beta e ciò sarebbe un grave problema...mmmm....
Da dove viene fuori quell'integrale, se posso chiedere?
Certo, devo calcolare la "evidence" di un semplice modello probabilistico e quindi devo integrare su tutti i parametri (che in questo caso erano delle probabilità discrete che appunto si sommano a uno).
EDIT: Meglio vedere il post successivo, questo lo lascio solo per ragioni storiche.
Ho pensato ad un approccio alternativo.
Proprietà della \(\delta\).
Questa proprietà mostra che
\[
\int\ldots\int_{[0, 1]^n} \delta(1- \sum_1^n p_i)\, dp_1\ldots dp_n = \frac{1}{\sqrt{n}} |S_n|, \]
dove
\[
S_n=\{ (p_1\ldots p_n)\ :\ p_1+\ldots+p_n=1,\, p_i\ge 0\},\]
e \(|S_n|\) è la sua misura \(n-1\) dimensionale. Il vero problema è quindi calcolare tale misura.
Puoi provare a cercare "simplex measure" e troverai molto materiale, incluse varie procedure per calcolare $|S_n|$.
Ho pensato ad un approccio alternativo.
Proprietà della \(\delta\).
Questa proprietà mostra che
\[
\int\ldots\int_{[0, 1]^n} \delta(1- \sum_1^n p_i)\, dp_1\ldots dp_n = \frac{1}{\sqrt{n}} |S_n|, \]
dove
\[
S_n=\{ (p_1\ldots p_n)\ :\ p_1+\ldots+p_n=1,\, p_i\ge 0\},\]
e \(|S_n|\) è la sua misura \(n-1\) dimensionale. Il vero problema è quindi calcolare tale misura.
Puoi provare a cercare "simplex measure" e troverai molto materiale, incluse varie procedure per calcolare $|S_n|$.
In questo post propongo una via per calcolare l'integrale dell'OP. *In breve*: la congettura che l'integrale valga \(\frac{1}{\Gamma(n)}=\frac{1}{(n-1)!}\) è verificata.
Si tratta di ricondurre il tutto alla misura del simplesso:
\[
\Delta_d:=\{ (p_1, \ldots, p_d)\ :\ p_i\ge 0,\ \sum_{i=1}^d p_i \le 1\}.\]
Infatti, se denotiamo
\[
I_n=\int_{[0, 1]^n} \delta(1-\sum_{i=1}^n p_i)\, dp_1\ldots dp_n, \]
allora integrando in \(p_n\) abbiamo che
\[
I_n= \int_{\Delta_{n-1}} dp_1\ldots d p_{n-1} = |\Delta_{n-1}|, \]
dove \(|\Delta_{n-1}|\) indica il *volume* di \(\Delta_{n-1}\). (ATTENZIONE! Nel post precedente, \(|S_n|\) denotava la superficie, ovvero la misura \(n-1\) dimensionale). Questo volume è un calcolo classico, si può usare ad esempio Fubini per ottenere
\[
|\Delta_{n-1}|=\int_0^1 p_1^{n-2}dp_1 \int_0^1 p_2^{n-3}dp_2\ldots \int_0^1 p_{n-2}\, dp_{n-2} =\frac{1}{(n-1)!}.\]
(in accordo con il risultato di Wikipedia: link).
Nota che alla fine si calcola un integrale del tipo del tuo secondo post, ma molto più semplice perché si scompone in un prodotto di integrali indipendenti. In ogni caso il tuo risultato per \(n=2, 3\) è corretto.
Si tratta di ricondurre il tutto alla misura del simplesso:
\[
\Delta_d:=\{ (p_1, \ldots, p_d)\ :\ p_i\ge 0,\ \sum_{i=1}^d p_i \le 1\}.\]
Infatti, se denotiamo
\[
I_n=\int_{[0, 1]^n} \delta(1-\sum_{i=1}^n p_i)\, dp_1\ldots dp_n, \]
allora integrando in \(p_n\) abbiamo che
\[
I_n= \int_{\Delta_{n-1}} dp_1\ldots d p_{n-1} = |\Delta_{n-1}|, \]
dove \(|\Delta_{n-1}|\) indica il *volume* di \(\Delta_{n-1}\). (ATTENZIONE! Nel post precedente, \(|S_n|\) denotava la superficie, ovvero la misura \(n-1\) dimensionale). Questo volume è un calcolo classico, si può usare ad esempio Fubini per ottenere
\[
|\Delta_{n-1}|=\int_0^1 p_1^{n-2}dp_1 \int_0^1 p_2^{n-3}dp_2\ldots \int_0^1 p_{n-2}\, dp_{n-2} =\frac{1}{(n-1)!}.\]
(in accordo con il risultato di Wikipedia: link).
Nota che alla fine si calcola un integrale del tipo del tuo secondo post, ma molto più semplice perché si scompone in un prodotto di integrali indipendenti. In ogni caso il tuo risultato per \(n=2, 3\) è corretto.
Molto interessante. Ho avuto solo ora modo di leggere il tuo post, dopo con calma mi studio i vari passaggi!
Ti ringrazio molto!
Ti ringrazio molto!
https://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q= ... xeAIYuekOQ
Qui trovi un piccolo articoletto che parla del volume del simplesso, con un taglio probabilistico che ti potrebbe interessare. Lì il simplesso si chiama \(\Sigma_n\) (corrisponde al \(\Delta_n\) del mio post precedente).
Qui trovi un piccolo articoletto che parla del volume del simplesso, con un taglio probabilistico che ti potrebbe interessare. Lì il simplesso si chiama \(\Sigma_n\) (corrisponde al \(\Delta_n\) del mio post precedente).
Grazie per il tempo:-) Tutto molto interessante e stimolante!
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